Математический анализ Примеры

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = x + 1$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$V = (x + 1) (x + 1)$

Этап 2.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$V = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$V = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1$

Этап 2.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$V = x^{2} + 2 x + 1$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + x]_{0}^{7})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}$ и $x]_{0}^{7}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $7$ и в $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3} + x$ в $7$ и в $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} + 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.5

Добавим $\frac{49}{2}$ и $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.6

Объединим $2$ и $\frac{49}{2}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.7

Умножим $2$ на $49$ .

$V = π (\frac{98}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.8

Сократим общий множитель $98$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $98$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{49}{1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.8.2.4

Разделим $49$ на $1$ .

$V = π (49 + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.9

Возведем $7$ в степень $3$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.10

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.11

Объединим $7$ и $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (49 + \frac{343 + 7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.13.1

Умножим $7$ на $3$ .

$V = π (49 + \frac{343 + 21}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.13.2

Добавим $343$ и $21$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.14

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.15

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.15.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 (0)}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Этап 10.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Этап 10.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{1} + 0))$

Этап 10.2.3.15.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (0 + 0))$

Этап 10.2.3.16

Добавим $0$ и $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - 0)$

Этап 10.2.3.17

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} + 0)$

Этап 10.2.3.18

Добавим $\frac{364}{3}$ и $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3})$

Этап 10.2.3.19

Чтобы записать $49$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{364}{3})$

Этап 10.2.3.20

Объединим $49$ и $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{364}{3})$

Этап 10.2.3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{49 \cdot 3 + 364}{3})$

Этап 10.2.3.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.22.1

Умножим $49$ на $3$ .

$V = π (\frac{147 + 364}{3})$

Этап 10.2.3.22.2

Добавим $147$ и $364$ .

$V = π (\frac{511}{3})$

Этап 10.2.3.23

Объединим $π$ и $\frac{511}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 511}{3}$

Этап 10.2.3.24

Перенесем $511$ влево от $π$ .

$V = \frac{511 π}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{511 π}{3}$

Десятичная форма:

$V = 535.11794866 \dots$

Этап 12