Математический анализ Примеры

$y = x$ , $y = \sqrt{x}$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \sqrt{x}$ и $g (x) = x$

Этап 2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(x)}^{2}$

Этап 2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(x)}^{2}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = x^{\frac{2}{2}} - {(x)}^{2}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$V = x^{\frac{2}{2}} - {(x)}^{2}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$V = x - {(x)}^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

$V = x - {(x)}^{2}$

$V = x - x^{2}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$V = π (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{1}{2} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3.5

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$V = π (\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 8.2.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 8.2.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 8.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 8.2.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

Этап 8.2.3.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0))$

Этап 8.2.3.10

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$V = π (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

Этап 8.2.3.11

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.2.3.12

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 8.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 8.2.3.13.2

Умножим $2$ на $3$ .

$V = π (\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 8.2.3.13.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2})$

Этап 8.2.3.13.4

Умножим $3$ на $2$ .

$V = π (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})$

Этап 8.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{3 - 2}{6})$

Этап 8.2.3.15

Вычтем $2$ из $3$ .

$V = π (\frac{1}{6})$

Этап 8.2.3.16

Объединим $π$ и $\frac{1}{6}$ .

$V = \frac{π}{6}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{π}{6}$

Десятичная форма:

$V = 0.52359877 \dots$

Этап 10