Математический анализ Примеры

$\sqrt{1 - \sin (x)}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 - \sin (x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 - \sin (x) \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- \sin (x) \geq - 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- \sin (x) \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- \sin (x) \geq - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \sin (x)}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) \leq 1$

Этап 2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x \leq \arcsin (1)$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2}$

Этап 2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 2.6

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 2.6.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Этап 2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 2.10.1.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$1 - \sin (5) \geq 0$

Этап 2.10.1.3

Левая часть $1.95892427$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.10.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Истина

Этап 2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$

Этап 4