Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x^{2} - 6$ , $x \geq 0$

Этап 1

Найдем множество значений заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

$[- 6, \infty)$

Этап 1.2

Преобразуем $[- 6, \infty)$ в неравенство.

$y \geq - 6$

Этап 2

Найдем обратную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поменяем переменные местами.

$x = 6 y^{2} - 6$

Этап 2.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $6 y^{2} - 6 = x$ .

$6 y^{2} - 6 = x$

Этап 2.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$6 y^{2} = x + 6$

Этап 2.2.3

Разделим каждый член $6 y^{2} = x + 6$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $6 y^{2} = x + 6$ на $6$ .

$\frac{6 y^{2}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{6}{6}$

Этап 2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y^{2}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{6}{6}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{6} + \frac{6}{6}$

Этап 2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Разделим $6$ на $6$ .

$y^{2} = \frac{x}{6} + 1$

Этап 2.2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{6} + 1}$

Этап 2.2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{6} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{6} + \frac{6}{6}}$

Этап 2.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 6}{6}}$

Этап 2.2.5.3

Перепишем $\sqrt{\frac{x + 6}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt{x + 6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6}}{\sqrt{6}}$

Этап 2.2.5.4

Умножим $\frac{\sqrt{x + 6}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Этап 2.2.5.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{x + 6}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 2.2.5.5.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 2.2.5.5.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 2.2.5.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.5.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 2.2.5.5.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.5.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.5.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.5.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.5.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 2.2.5.5.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 6} \sqrt{6}}{6}$

Этап 2.2.5.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 6) \cdot 6}}{6}$

Этап 2.2.5.7

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x + 6) \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}$

Этап 2.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}$

Этап 2.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}$

Этап 2.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}$

Этап 2.3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}, - \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}$

Этап 3

Найдем обратную функцию, используя область определения и множество значений исходной функции.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (x + 6)}}{6}, x \geq - 6$

Этап 4