Математический анализ Примеры

$f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$ в виде уравнения.

$y = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 1 + \sqrt{3 + 6 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + \sqrt{3 + 6 y} = x$ .

$1 + \sqrt{3 + 6 y} = x$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3 + 6 y} = x - 1$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 + 6 y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 + 6 y}$ в виде ${(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${({(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 + 6 y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$3 + 6 y = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$3 + 6 y = (x - 1) (x - 1)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 + 6 y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 + 6 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 + 6 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 + 6 y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 + 6 y = x^{2} - x - x + 1$

Этап 3.4.3.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$6 y = x^{2} - 2 x + 1 - 3$

Этап 3.5.1.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$6 y = x^{2} - 2 x - 2$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $6 y = x^{2} - 2 x - 2$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $6 y = x^{2} - 2 x - 2$ на $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{6} + \frac{- 2}{6}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{6} + \frac{- 2}{6}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{6} + \frac{- 2}{6}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- x)}{6} + \frac{- 2}{6}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- x)}{2 (3)} + \frac{- 2}{6}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 3} + \frac{- 2}{6}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- x}{3} + \frac{- 2}{6}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{- 2}{6}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{2 (- 1)}{6}$

Этап 3.5.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.5.2.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$ обратной к $f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} - \frac{1 + \sqrt{3 + 6 x}}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 + 6 x}) - 1}{3}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 (1) + 6 x}) - 1}{3}$

Этап 5.2.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 (1) + 3 (2 x)}) - 1}{3}$

Этап 5.2.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (1) + 3 (2 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) - 1}{3}$

Этап 5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{3 (1 + 2 x)} - 1}{3}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 1 - \sqrt{3 (1 + 2 x)} - 1}{3}$

Этап 5.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{3}$

Этап 5.2.5.2

Изменим порядок $1$ и $2 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 (1) + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 (1) + 3 (2 x)})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (1) + 3 (2 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.2

Перепишем ${(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.3

Развернем $(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + \sqrt{3 (1 + 2 x)} (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + 1 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.2

Умножим $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.3

Умножим $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.4

Умножим $\sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1.4.1

Возведем $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.4.2

Возведем $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {\sqrt{3 (1 + 2 x)}}^{1 + 1}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {\sqrt{3 (1 + 2 x)}}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.5

Перепишем ${\sqrt{3 (1 + 2 x)}}^{2}$ в виде $3 (1 + 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ в виде ${(3 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {({(3 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {(3 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {(3 (1 + 2 x))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {(3 (1 + 2 x))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 (1 + 2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.5.5

Упростим.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 (1 + 2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 \cdot 1 + 3 (2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.7

Умножим $3$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 + 3 (2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.1.8

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{4 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.4.3

Добавим $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ и $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.5

Сократим общий множитель $4 + 2 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3 (1 + 2 x)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.5.4

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 2 (3 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.5.5

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 2 (3 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.5.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x)}{2 (3)} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.5.6.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x)}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.5.6.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.6.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

Этап 5.2.6.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (\sqrt{3 (2 x + 1)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 1 (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

Этап 5.2.6.6.4

Перепишем $- 1 (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})$ в виде $- (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

Этап 5.2.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} - \frac{2 + \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

Этап 5.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - 1 \cdot 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.8.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.9

Объединим противоположные члены в $2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{0 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.9.2

Добавим $0$ и $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{\sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.10

Вычтем $\sqrt{3 (2 x + 1)}$ из $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Изменим порядок $1$ и $2 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x + \sqrt{3 (2 x + 1)} - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Этап 5.2.10.2

Вычтем $\sqrt{3 (2 x + 1)}$ из $\sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 5.2.11

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.12.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 + 6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 + 6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1) + 6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1) + 3 (2 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}))}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (1) + 3 (2 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}))$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}))}$

Этап 5.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Этап 5.3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Этап 5.3.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Этап 5.3.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Этап 5.3.3.3.2

Умножим $2 (- \frac{x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} - 2 \frac{x}{3} + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Этап 5.3.3.3.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Этап 5.3.3.3.3

Умножим $2 (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} - 2 (\frac{1}{3}))}$

Этап 5.3.3.3.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{- 2}{3})}$

Этап 5.3.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3})}$

Этап 5.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3})}$

Этап 5.3.3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{3} - \frac{2}{3})}$

Этап 5.3.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 - 2}{3})}$

Этап 5.3.3.7

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})}$

Этап 5.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2} - 2 x + 1}{3})}$

Этап 5.3.3.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{3})}$

Этап 5.3.3.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 5.3.3.9.3

Перепишем многочлен.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{3})}$

Этап 5.3.3.9.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{{(x - 1)}^{2}}{3})}$

Этап 5.3.3.10

Объединим $3$ и $\frac{{(x - 1)}^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3}}$

Этап 5.3.3.11

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.11.1

Сократим выражение $\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.11.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3}}$

Этап 5.3.3.11.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{1}}$

Этап 5.3.3.11.2

Разделим ${(x - 1)}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.3.3.12

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + x - 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$ — обратная к $f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$