Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{0}{x}$

Этап 1

Изменим двусторонний предел на левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{0}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} 0}{lim_{x \to 0^{-}} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел $0$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{0}{x} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{0}{1}$

Этап 2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} 0$

Этап 3

Найдем предел $0$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$0$