Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{1}{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.5.2

Умножим ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ на $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Этап 1.1.3.7

Перенесем $2$ влево от ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Этап 1.1.5.1.2

Объединим $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(- x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

${(- (x^{2}) + 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

${(- (x^{2}) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 1)$ .

${(- (x^{2} - 1))}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(- (x^{2} - 1^{2}))}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${(- ((x + 1) (x - 1)))}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

${(- (x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.4

Применим правило умножения к $- (x + 1) (x - 1)$ .

${(- (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.5

Применим правило умножения к $- (x + 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.2.4

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.4.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.2.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 4.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2)}{{(- {(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- {(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- 1 \cdot 4 + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- 4 + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{9}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{4}{9}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{4}{9}$ .

$- \frac{4}{9}$

Этап 6.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- \frac{4}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 (- \frac{1}{2})}{{(- {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 (\frac{1}{2})}{{(- {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{3} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})}^{2}}$

Этап 7.2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(\frac{- 1 + 4}{4})}^{2}}$

Этап 7.2.2.8

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$

Этап 7.2.2.9

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{\frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Этап 7.2.2.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{\frac{9}{4^{2}}}$

Этап 7.2.2.11

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{\frac{9}{16}}$

Этап 7.2.3

Разделим $- 2$ на $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{\frac{9}{16}}$

Этап 7.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{16}{9}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{16}{9}$ .

$- \frac{16}{9}$

Этап 7.3

При $x = - \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- \frac{16}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1, 0)$ .

Убывание на $(- 1, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{2})}{{(- {(\frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- {(\frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(\frac{- 1 + 4}{4})}^{2}}$

Этап 8.2.2.6

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$

Этап 8.2.2.7

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Этап 8.2.2.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{9}{4^{2}}}$

Этап 8.2.2.9

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{9}{16}}$

Этап 8.2.3

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{9}{16}}$

Этап 8.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 (\frac{16}{9})$

Этап 8.2.5

Умножим $\frac{16}{9}$ на $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{16}{9}$

Этап 8.2.6

Окончательный ответ: $\frac{16}{9}$ .

$\frac{16}{9}$

Этап 8.3

При $x = \frac{1}{2}$ производная имеет вид $\frac{16}{9}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, 1)$ .

Возрастание в области $(0, 1)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{2 (2)}{{(- {(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 2^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 1 \cdot 4 + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 4 + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 3)}^{2}}$

Этап 9.2.2.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{9}$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Этап 9.3

При $x = 2$ производная имеет вид $\frac{4}{9}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, 1), (1, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

Этап 11