Математический анализ Примеры

$f (x) = (6 - x) e^{- x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 6 - x$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$(6 - x) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$(6 - x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(6 - x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$(6 - x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 - x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(6 - x) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(6 - x) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $(6 - x) e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ((6 - x) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Этап 1.1.3.3.3

Перепишем $- 1 (6 - x)$ в виде $- (6 - x)$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Этап 1.1.3.4

По правилу суммы производная $6 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.3.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 1.1.3.9.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- (6 - x) e^{- x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 1.1.3.9.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- (6 - x) e^{- x} - e^{- x}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 1 \cdot 6 - - x) e^{- x} - e^{- x}$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 6 e^{- x} - - x e^{- x} - e^{- x}$

Этап 1.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 e^{- x} - - x e^{- x} - e^{- x}$

Этап 1.1.4.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 6 e^{- x} + 1 x e^{- x} - e^{- x}$

Этап 1.1.4.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$- 6 e^{- x} + x e^{- x} - e^{- x}$

Этап 1.1.4.3.4

Вычтем $e^{- x}$ из $- 6 e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Этап 1.1.4.4

Изменим порядок членов.

$e^{- x} x - 7 e^{- x}$

Этап 1.1.4.5

Изменим порядок множителей в $e^{- x} x - 7 e^{- x}$ .

$f' (x) = x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x e^{- x} - 7 e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x e^{- x} - 7 e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $x e^{- x} - 7 e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $x e^{- x}$ .

$e^{- x} x - 7 e^{- x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- 7 e^{- x}$ .

$e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 7 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 7$ .

$e^{- x} (x - 7) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- x} = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- x} (x - 7) = 0$ верно.

$x = 7$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $7$ .

$7$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = x e^{- x} - 7 e^{- x}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = (6 - x) e^{- x}$ в интервале $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 7)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = (6) \cdot e^{- (6)} - 7 e^{- (6)}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f' (6) = 6 \cdot e^{- 6} - 7 e^{- (6)}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = 6 \cdot \frac{1}{e^{6}} - 7 e^{- (6)}$

Этап 5.2.1.3

Объединим $6$ и $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 e^{- (6)}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 e^{- 6}$

Этап 5.2.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 \frac{1}{e^{6}}$

Этап 5.2.1.6

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} + \frac{- 7}{e^{6}}$

Этап 5.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - \frac{7}{e^{6}}$

Этап 5.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (6) = \frac{6 - 7}{e^{6}}$

Этап 5.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вычтем $7$ из $6$ .

$f' (6) = \frac{- 1}{e^{6}}$

Этап 5.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (6) = - \frac{1}{e^{6}}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{e^{6}}$ .

$- \frac{1}{e^{6}}$

Этап 5.3

При $x = 6$ производная имеет вид $- \frac{1}{e^{6}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 7)$ .

Убывание на $(- \infty, 7)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(7, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f' (8) = (8) \cdot e^{- (8)} - 7 e^{- (8)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (8) = 8 \cdot e^{- 8} - 7 e^{- (8)}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (8) = 8 \cdot \frac{1}{e^{8}} - 7 e^{- (8)}$

Этап 6.2.1.3

Объединим $8$ и $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 e^{- (8)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 e^{- 8}$

Этап 6.2.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 \frac{1}{e^{8}}$

Этап 6.2.1.6

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} + \frac{- 7}{e^{8}}$

Этап 6.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - \frac{7}{e^{8}}$

Этап 6.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (8) = \frac{8 - 7}{e^{8}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $7$ из $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{e^{8}}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Этап 6.3

При $x = 8$ производная имеет вид $\frac{1}{e^{8}}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(7, \infty)$ .

Возрастание в области $(7, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(7, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 7)$

Этап 8