Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) + 8$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\cos (x) + 0$

Этап 1.1.3.2

Добавим $\cos (x)$ и $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 2.5

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.5.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \cos (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \sin (x) + 8$ в интервале $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + π n - 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Этап 5.2

Окончательный ответ: $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Этап 5.3

Упростим.

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Этап 5.4

При $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ производная имеет вид $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + π n + 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Этап 6.4

При $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ производная имеет вид $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$

Этап 8