Математический анализ Примеры

$f (x) = 32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

$\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

$0 + 36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 191$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 191]}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 191]}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

По правилу суммы производная $x^{2} + 191$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [191]$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [191])}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [191])}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Поскольку $191$ является константой относительно $x$ , производная $191$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 191$ .

$0 + 36 \frac{2 \cdot (x^{2} + 191) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Добавим $2 x$ и $0$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.12

Добавим $1$ и $2$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.2.13

Объединим $36$ и $\frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$0 + \frac{36 (2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + \frac{36 ((2 x^{2} + 2 \cdot 191) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot 191 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + \frac{36 (2 x^{2} x) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 + \frac{36 (2 (x^{1} x^{2})) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 + \frac{36 (2 x^{1 + 2}) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$0 + \frac{36 (2 x^{3}) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.4

Умножим $2$ на $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.5

Умножим $2$ на $191$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 36 (382 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.6

Умножим $382$ на $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 13752 x + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.7

Умножим $- 2$ на $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 13752 x - 72 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.8

Вычтем $72 x^{3}$ из $72 x^{3}$ .

$0 + \frac{13752 x + 0}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.9

Добавим $13752 x$ и $0$ .

$0 + \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.10

Добавим $0$ и $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$13752 x = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $13752 x = 0$ на $13752$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $13752 x = 0$ на $13752$ .

$\frac{13752 x}{13752} = \frac{0}{13752}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $13752$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{13752 x}{13752} = \frac{0}{13752}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{13752}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $13752$ .

$x = 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{13752 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $13752$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{{({(- 1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{{(1 + 191)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $1$ и $191$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{192^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $192$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{36864}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 13752$ и $36864$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $72$ из $- 13752$ .

$f' (- 1) = \frac{72 (- 191)}{36864}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $72$ из $36864$ .

$f' (- 1) = \frac{72 \cdot - 191}{72 \cdot 512}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = \frac{72 \cdot - 191}{72 \cdot 512}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = \frac{- 191}{512}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = - \frac{191}{512}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{191}{512}$ .

$- \frac{191}{512}$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- \frac{191}{512}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{13752 (1)}{{({(1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $13752$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{13752}{{(1^{2} + 191)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{13752}{{(1 + 191)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $1$ и $191$ .

$f' (1) = \frac{13752}{192^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $192$ в степень $2$ .

$f' (1) = \frac{13752}{36864}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $13752$ и $36864$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель $72$ из $13752$ .

$f' (1) = \frac{72 (191)}{36864}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $72$ из $36864$ .

$f' (1) = \frac{72 \cdot 191}{72 \cdot 512}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (1) = \frac{72 \cdot 191}{72 \cdot 512}$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (1) = \frac{191}{512}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{191}{512}$ .

$\frac{191}{512}$

Этап 6.3

При $x = 1$ производная имеет вид $\frac{191}{512}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0)$

Этап 8