Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

Этап 1.3

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Этап 3.5.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)}$

Этап 3.9

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)}$

Этап 3.10

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2}{x^{2} + 1} x}$

Этап 3.11

Объединим $\frac{2}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} 4 \frac{x^{2} + 1}{2 x}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $4$ и $\frac{x^{2} + 1}{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} + 1)}{2 x}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (x^{2} + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 (x)}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x}$

Этап 6

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} + 1)}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 6.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 6.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 6.1.2.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 6.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 6.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 (x^{2} + 1)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.7

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{1}$

Этап 6.4

Разделим $4 x$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4 x$

Этап 7

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\infty$