Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{6 - x - x^{2}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 1.2.1.3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} x^{2}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{6 - lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} x^{2}}$

Этап 1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{6 - lim_{x \to - 3} x - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{6 + 3 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{6 + 3 - {(- 3)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{0}{6 + 3 - 1 \cdot 9}$

Этап 1.3.5.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{6 + 3 - 9}$

Этап 1.3.5.2

Добавим $6$ и $3$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Этап 1.3.5.3

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{6 - x - x^{2}} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Этап 3.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $6 - x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 3.7

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 3.8.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - 1 - (2 x)}$

Этап 3.9.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - 1 - 2 x}$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{- 1 - 2 x}$

Этап 3.10.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{- 2 x - 1}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} \frac{x}{- 2 x - 1}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} - 2 x - 1}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{- lim_{x \to - 3} 2 x - lim_{x \to - 3} 1}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{- 2 lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 1}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{- 2 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 1}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$2 \frac{- 3}{- 2 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 1}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$2 \frac{- 3}{- 2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$2 \frac{- 3}{6 - 1 \cdot 1}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{- 3}{6 - 1}$

Этап 10.1.3

Вычтем $1$ из $6$ .

$2 (\frac{- 3}{5})$

Этап 10.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{3}{5})$

Этап 10.3

Умножим $2 (- \frac{3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (\frac{3}{5})$

Этап 10.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{5}$

Этап 10.3.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 6}{5}$

Этап 10.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{5}$