Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x) - \sin (π x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Этап 1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Этап 1.3.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Этап 1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - \sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Этап 1.3.4

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Этап 1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (1) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Этап 1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (1) - \sin (π \cdot 1)}$

Этап 1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0 - \sin (π \cdot 1)}$

Этап 1.3.6.1.2

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{0}{0 - \sin (π)}$

Этап 1.3.6.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Этап 1.3.6.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Этап 1.3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x) - \sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $\ln (x) - \sin (π x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]}$

Этап 3.7

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (π x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (π x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}$

Этап 3.8.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}$

Этап 3.8.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}$

Этап 3.8.3

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 3.8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) (π \cdot 1))}$

Этап 3.8.5

Умножим $π$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) π)}$

Этап 3.8.6

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - \cos (π x) π}$

Этап 3.9

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} - π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} - π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to 1} π \cos (π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Этап 7

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- π lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Этап 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- π \cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Этап 9

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 11

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{1}}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{1}}$

Этап 13.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + 1}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π) + 1}$

Этап 13.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{- π (- \cos (0)) + 1}$

Этап 13.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{- π (- 1 \cdot 1) + 1}$

Этап 13.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{- π \cdot - 1 + 1}$

Этап 13.2.5

Умножим $- π \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{1 π + 1}$

Этап 13.2.5.2

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{1}{π + 1}$