Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Этап 1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 \sin (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{4 \sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{4 \sin (π)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Этап 1.2.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{4 \sin (0)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Этап 1.2.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Этап 1.2.3.4

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} x}$

Этап 1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} x}$

Этап 1.3.3

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} x}$

Этап 1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + lim_{x \to 1} x}$

Этап 1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + 1}$

Этап 1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Этап 1.3.5.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Этап 1.3.5.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Этап 1.3.5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Этап 1.3.5.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (π x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3.4

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3.5

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3.7

Умножим $π$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) π}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3.8

Изменим порядок множителей в $4 \cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $\cos (π x) + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10.4

Умножим $π$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + 1}$

Этап 3.12

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Этап 4

Вынесем член $4 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 π lim_{x \to 1} \frac{\cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$4 π \frac{lim_{x \to 1} \cos (π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$4 π \frac{\cos (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Этап 7

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- lim_{x \to 1} π \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Этап 9

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π lim_{x \to 1} \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Этап 10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Этап 11

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 1}$

Этап 12

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $π$ на $1$ .

$4 π \frac{\cos (π)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Этап 14.1.2

$4 π \frac{- \cos (0)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Этап 14.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 π \frac{- 1 \cdot 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Этап 14.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π) + 1}$

Этап 14.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (0) + 1}$

Этап 14.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \cdot 0 + 1}$

Этап 14.2.4

Умножим $- π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$4 π \frac{- 1}{0 π + 1}$

Этап 14.2.4.2

Умножим $0$ на $π$ .

$4 π \frac{- 1}{0 + 1}$

Этап 14.2.5

Добавим $0$ и $1$ .

$4 π \frac{- 1}{1}$

Этап 14.3

Разделим $- 1$ на $1$ .

$4 π \cdot - 1$

Этап 14.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 π$