Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (4 x)}{x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем предел $\arcsin (4 x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\arcsin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2.2

Производная $\arcsin (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.4

Применим правило умножения к $4 (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.6

Умножим $16$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.8

Объединим $4$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10

Умножим $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}}{1}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Этап 5.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Этап 5.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Этап 5.5

Внесем предел под знак радикала.

$4 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 16 x^{2}}}$

Этап 5.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}}$

Этап 5.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}}$

Этап 5.8

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{1 - 16 lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Этап 5.9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 \frac{1}{\sqrt{1 - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{1 - 16 \cdot 0^{2}}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{1 - 16 \cdot 0}}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 16$ на $0$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 7.1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 7.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{1}{1})$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 1$

Этап 7.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4$