Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Этап 1.2

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Этап 1.3

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.8

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{1}{x}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} x$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Этап 5.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Этап 6

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ .

$3 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$3 \cdot \infty \cdot \infty$

Этап 7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\infty \cdot \infty$

Этап 7.2.2

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\infty$