Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \tan^{-1} (\frac{\sqrt{1 + 4 x^{6}}}{1 - 2 x^{3}})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{0 + 4}}{0 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{- \sqrt{4}}{0 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2^{2}}}{0 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{- 1 \cdot 2}{0 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{0 - 2}$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2}$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2}{- 2}$

Этап 1.2.4

Разделим $- 2$ на $- 2$ .

$1$

Этап 2

Подставим $t$ вместо $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{6}}}{1 - 2 x^{3}}$ и устремим $t$ к $1$ , так как $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{1 + 4 x^{6}}}{1 - 2 x^{3}} = 1$ .

$lim_{t \to 1} \tan^{-1} (t)$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\tan^{-1} (\frac{- \sqrt{0 + 4}}{0 - 1 \cdot 2})$

Этап 3.1.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Добавим $0$ и $4$ .

$\tan^{-1} (\frac{- \sqrt{4}}{0 - 1 \cdot 2})$

Этап 3.1.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\tan^{-1} (\frac{- \sqrt{2^{2}}}{0 - 1 \cdot 2})$

Этап 3.1.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\tan^{-1} (\frac{- 1 \cdot 2}{0 - 1 \cdot 2})$

Этап 3.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\tan^{-1} (\frac{- 1 \cdot 2}{0 - 2})$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$\tan^{-1} (\frac{- 1 \cdot 2}{- 2})$

Этап 3.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\tan^{-1} (\frac{- 2}{- 2})$

Этап 3.1.2.4

Разделим $- 2$ на $- 2$ .

$\tan^{-1} (1)$

Этап 3.2

Точное значение $\tan^{-1} (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$