Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \ln (7 x) - \ln (x + 8)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to \infty} \ln (\frac{7 x}{x + 8})$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (lim_{x \to \infty} \frac{7 x}{x + 8})$

Этап 2.2

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 8})$

Этап 3

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Этап 4.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{8}{x}})$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\ln (7 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x}})$

Этап 4.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x}})$

Этап 4.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x}})$

Этап 4.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x}})$

Этап 4.7

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 8 \cdot 0})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 0})$

Этап 6.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (7 (\frac{1}{1}))$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (7 (\frac{1}{1}))$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (7 \cdot 1)$

Этап 6.3

Умножим $7$ на $1$ .

$\ln (7)$