Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем член $a$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 1.2.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\ln (1 + a \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $a$ на $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 1.2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 1.3

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $1 + \frac{a}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.6

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{a}{x}$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.7

Объединим $a$ и $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.8

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.10

Объединим $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ и $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.11

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.2.2

Объединим $\frac{a}{x}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.2.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.2.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.2.3.2.5

Разделим $a x$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + a x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.3.2

Вынесем множитель $x$ из $a x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + x a}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.12.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x a$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.13

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Этап 3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- x^{- 2}}$

Этап 3.15

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} - \frac{a}{x (x + a)} (- x^{2})$

Этап 5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{a}{x (x + a)}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{a}{x (x + a)}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2}}{x (x + a)}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Этап 6.1.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{a x}{x + a}$

Этап 6.2

Вынесем член $a$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + a}$

Этап 7

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Сократим общий множитель.

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Этап 8.1.2

Перепишем это выражение.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$

Этап 8.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$a \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Этап 8.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Этап 8.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Этап 8.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$a \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Этап 8.7

Вынесем член $a$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$a \frac{1}{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 9

$a \frac{1}{1 + a \cdot 0}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $a$ на $0$ .

$a \frac{1}{1 + 0}$

Этап 10.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$a \frac{1}{1}$

Этап 10.2

Разделим $1$ на $1$ .

$a \cdot 1$

Этап 10.3

Умножим $a$ на $1$ .

$a$