Математический анализ Примеры

$f (x) = 10 \sin (x) + 10 \sqrt{3} \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $10 \sin (x) + 10 \sqrt{3} \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{3} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{3} \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 \sin (x)$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{3} \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$10 \cos (x) + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{3} \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 \sqrt{3} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $10 \sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $10 \sqrt{3} \cos (x)$ по $x$ равна $10 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$10 \cos (x) + 10 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$10 \cos (x) + 10 \sqrt{3} (- \sin (x))$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $10$ .

$10 \cos (x) - 10 \sqrt{3} \sin (x)$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 10 \sqrt{3} \sin (x) + 10 \cos (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 10 \sqrt{3} \sin (x) + 10 \cos (x)$ .

$- 10 \sqrt{3} \sin (x) + 10 \cos (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 10 \sqrt{3} \sin (x) + 10 \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 10 \sqrt{3} \sin (x) + 10 \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{10 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.3

Разделим дроби.

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{10 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{1} \cdot \tan (x) + \frac{10 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5

Разделим $- 10 \sqrt{3}$ на $1$ .

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + \frac{10 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + \frac{10 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.6.2

Разделим $10$ на $1$ .

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + 10 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.7

Разделим дроби.

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + 10 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + 10 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.9

Разделим $0$ на $1$ .

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + 10 = 0 \sec (x)$

Этап 2.10

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + 10 = 0$

Этап 2.11

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) = - 10$

Этап 2.12

Разделим каждый член $- 10 \sqrt{3} \tan (x) = - 10$ на $- 10 \sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Разделим каждый член $- 10 \sqrt{3} \tan (x) = - 10$ на $- 10 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3} \tan (x)}{- 10 \sqrt{3}} = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Этап 2.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10 \sqrt{3} \tan (x)}{- 10 \sqrt{3}} = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Этап 2.12.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Этап 2.12.2.2

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Этап 2.12.2.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Этап 2.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Сократим общий множитель $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Этап 2.12.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.12.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.12.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.12.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.12.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.12.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.12.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.12.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.12.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.12.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.12.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.12.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.12.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.13

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 2.14

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Точное значение $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 2.15

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{6}$

Этап 2.16

Упростим $π + \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 2.16.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 2.16.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Этап 2.16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Этап 2.16.3.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 2.17

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.17.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.17.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.17.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.18

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $10 \sin (x) + 10 \sqrt{3} \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{6}$ вместо $x$ .

$10 \sin (\frac{π}{6}) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2}) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$2 (5) \frac{1}{2} + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 5 \frac{1}{2} + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$5 + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$5 + 10 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10 \sqrt{3}$ .

$5 + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$5 + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$5 + 5 \sqrt{3} \sqrt{3}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$5 + 5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Этап 4.1.2.1.6

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$5 + 5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Этап 4.1.2.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 + 5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Этап 4.1.2.1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$5 + 5 {\sqrt{3}}^{2}$

Этап 4.1.2.1.9

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.1.2.1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.1.2.1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 + 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.1.2.1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$5 + 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.1.2.1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$5 + 5 \cdot 3^{1}$

Этап 4.1.2.1.9.5

Найдем экспоненту.

$5 + 5 \cdot 3$

Этап 4.1.2.1.10

Умножим $5$ на $3$ .

$5 + 15$

Этап 4.1.2.2

Добавим $5$ и $15$ .

$20$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{7 π}{6}$ вместо $x$ .

$10 \sin (\frac{7 π}{6}) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$10 (- \sin (\frac{π}{6})) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$10 (- \frac{1}{2}) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$10 (\frac{- 1}{2}) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$2 (5) \frac{- 1}{2} + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 5 \frac{- 1}{2} + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$5 \cdot - 1 + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- 5 + 10 \sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.2.2.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 5 + 10 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 5 + 10 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $10 \sqrt{3}$ .

$- 5 + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$- 5 + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$- 5 + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 4.2.2.1.8

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 - 5 \sqrt{3} \sqrt{3}$

Этап 4.2.2.1.9

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- 5 - 5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Этап 4.2.2.1.10

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- 5 - 5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Этап 4.2.2.1.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 - 5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Этап 4.2.2.1.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 5 - 5 {\sqrt{3}}^{2}$

Этап 4.2.2.1.13

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.13.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 5 - 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.13.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 - 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.2.2.1.13.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 5 - 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.2.2.1.13.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.13.4.1

Сократим общий множитель.

$- 5 - 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.2.2.1.13.4.2

Перепишем это выражение.

$- 5 - 5 \cdot 3^{1}$

Этап 4.2.2.1.13.5

Найдем экспоненту.

$- 5 - 5 \cdot 3$

Этап 4.2.2.1.14

Умножим $- 5$ на $3$ .

$- 5 - 15$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $15$ из $- 5$ .

$- 20$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{6} + 2 π n, 20), (\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 20)$ , для любого целого $n$

Этап 5