Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{64 x^{2} - 25}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 64 x^{2} - 25$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [64 x^{2} - 25] - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $64 x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 x^{2}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{x (128 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (128 x + 0) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Добавим $128 x$ и $0$ .

$\frac{x (128 x) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{128 (x^{1} x) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{128 (x^{1} x^{1}) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{128 x^{1 + 1} - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25)}{x^{2}}$

Этап 1.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2}) - - 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1.1

Умножим $64$ на $- 1$ .

$\frac{128 x^{2} - 64 x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 25$ .

$\frac{128 x^{2} - 64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.2

Вычтем $64 x^{2}$ из $128 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$ .

$\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$64 x^{2} + 25 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$64 x^{2} = - 25$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $64 x^{2} = - 25$ на $64$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $64 x^{2} = - 25$ на $64$ .

$\frac{64 x^{2}}{64} = \frac{- 25}{64}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{64 x^{2}}{64} = \frac{- 25}{64}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{64}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{25}{64}$

Этап 2.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{25}{64}}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{25}{64}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- \frac{25}{64}$ в виде ${(\frac{5 i}{8})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5 i}{8})}^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{5 i}{8}$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{5 i}{8}$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{5 i}{8}$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{5 i}{8}, - \frac{5 i}{8}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $\frac{64 x^{2} - 25}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{64 {(0)}^{2} - 25}{0}$

Этап 4.1.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 5

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены