Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 100 x^{2} + 81$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $100 x^{2} + 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100 x^{2}$ по $x$ равна $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Умножим $2$ на $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Добавим $200 x$ и $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Этап 1.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1.1

Умножим $100$ на $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.1.2

Умножим $- 1$ на $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.2

Вычтем $100 x^{2}$ из $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.3.1

Перепишем $100 x^{2}$ в виде ${(10 x)}^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 10 x$ и $b = 9$ .

$f' (x) = \frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$10 x + 9 = 0$

$10 x - 9 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $10 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $10 x + 9$ к $0$ .

$10 x + 9 = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим $10 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$10 x = - 9$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим каждый член $10 x = - 9$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $10 x = - 9$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Этап 2.3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{10}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{9}{10}$

Этап 2.3.3

Приравняем $10 x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $10 x - 9$ к $0$ .

$10 x - 9 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $10 x - 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$10 x = 9$

Этап 2.3.3.2.2

Разделим каждый член $10 x = 9$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $10 x = 9$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Этап 2.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{10}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$ верно.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $\frac{100 x^{2} + 81}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{9}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{9}{10}$ вместо $x$ .

$\frac{100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81}{- \frac{9}{10}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 4.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{10})}^{2}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 4.1.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 4.1.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$(100 (1 \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 4.1.2.2.3

Умножим $\frac{9^{2}}{10^{2}}$ на $1$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 4.1.2.2.4

Возведем $9$ в степень $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 4.1.2.2.5

Возведем $10$ в степень $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 4.1.2.2.6

Сократим общий множитель $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 4.1.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$(81 + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 4.1.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Добавим $81$ и $81$ .

$162 (- \frac{10}{9})$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10}{9}$ в числитель.

$162 (\frac{- 10}{9})$

Этап 4.1.2.3.2.2

Вынесем множитель $9$ из $162$ .

$9 (18) \frac{- 10}{9}$

Этап 4.1.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$9 \cdot 18 \frac{- 10}{9}$

Этап 4.1.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$18 \cdot - 10$

Этап 4.1.2.3.3

Умножим $18$ на $- 10$ .

$- 180$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{9}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{9}{10}$ вместо $x$ .

$\frac{100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81}{\frac{9}{10}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81) \frac{10}{9}$

Этап 4.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{9}{10}$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

Этап 4.2.2.2.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

Этап 4.2.2.2.3

Возведем $10$ в степень $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

Этап 4.2.2.2.4

Сократим общий множитель $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

Этап 4.2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$(81 + 81) \frac{10}{9}$

Этап 4.2.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Добавим $81$ и $81$ .

$162 (\frac{10}{9})$

Этап 4.2.2.3.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $162$ .

$9 (18) \frac{10}{9}$

Этап 4.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$9 \cdot 18 \frac{10}{9}$

Этап 4.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$18 \cdot 10$

Этап 4.2.2.3.3

Умножим $18$ на $10$ .

$180$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{100 {(0)}^{2} + 81}{0}$

Этап 4.3.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(- \frac{9}{10}, - 180), (\frac{9}{10}, 180)$

Этап 5