Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 9}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 8 x + 16$ и $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16] - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8 + 0) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.10

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16)}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Развернем $(x - 9) (2 x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x - 8) - 9 (2 x - 8) - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 9 (2 x - 8) - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 8 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 8 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 8 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2.1.3

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 \cdot x - 9 (2 x) - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2.1.4

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 18 x - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2.1.5

Умножим $- 9$ на $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 18 x + 72 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Вычтем $18 x$ из $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 26 x + 72 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.3

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 26 x + 72 - x^{2} + 8 x - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{2 x^{2} - 26 x + 72 - x^{2} + 8 x - 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 26 x + 72 + 8 x - 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.3

Добавим $- 26 x$ и $8 x$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 72 - 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.4

Вычтем $16$ из $72$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 56}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Разложим $x^{2} - 18 x + 56$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $56$ , а сумма — $- 18$ .

$- 14, - 4$

Этап 1.1.3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f' (x) = \frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x - 14) (x - 4) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x - 14$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x - 14$ к $0$ .

$x - 14 = 0$

Этап 2.3.2.2

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$x = 14$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 14) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 14, 4$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 4

Вычислим $\frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 9}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $14$ вместо $x$ .

$\frac{{(14)}^{2} - 8 \cdot 14 + 16}{(14) - 9}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$\frac{196 - 8 \cdot 14 + 16}{14 - 9}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 8$ на $14$ .

$\frac{196 - 112 + 16}{14 - 9}$

Этап 4.1.2.1.3

Вычтем $112$ из $196$ .

$\frac{84 + 16}{14 - 9}$

Этап 4.1.2.1.4

Добавим $84$ и $16$ .

$\frac{100}{14 - 9}$

Этап 4.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $9$ из $14$ .

$\frac{100}{5}$

Этап 4.1.2.2.2

Разделим $100$ на $5$ .

$20$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$\frac{{(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16}{(4) - 9}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16 - 8 \cdot 4 + 16}{4 - 9}$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$\frac{16 - 32 + 16}{4 - 9}$

Этап 4.2.2.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$\frac{- 16 + 16}{4 - 9}$

Этап 4.2.2.1.4

Добавим $- 16$ и $16$ .

$\frac{0}{4 - 9}$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $9$ из $4$ .

$\frac{0}{- 5}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $0$ на $- 5$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

$\frac{{(9)}^{2} - 8 \cdot 9 + 16}{(9) - 9}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{{(9)}^{2} - 8 \cdot 9 + 16}{0}$

Этап 4.3.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(14, 20), (4, 0)$

Этап 5