Математический анализ Примеры

$f (x) = (x - 9) e^{- x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 9$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$(x - 9) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$(x - 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x - 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$(x - 9) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 9) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 9) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x - 9) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $(x - 9) e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ((x - 9) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Этап 1.1.3.3.3

Перепишем $- 1 (x - 9)$ в виде $- (x - 9)$ .

$- (x - 9) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Этап 1.1.3.4

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- (x - 9) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x - 9) e^{- x} + e^{- x} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 1.1.3.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (x - 9) e^{- x} + e^{- x} (1 + 0)$

Этап 1.1.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- (x - 9) e^{- x} + e^{- x} \cdot 1$

Этап 1.1.3.7.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$- (x - 9) e^{- x} + e^{- x}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x - - 9) e^{- x} + e^{- x}$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x e^{- x} - - 9 e^{- x} + e^{- x}$

Этап 1.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$- x e^{- x} + 9 e^{- x} + e^{- x}$

Этап 1.1.4.3.2

Добавим $9 e^{- x}$ и $e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 10 e^{- x}$

Этап 1.1.4.4

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Этап 1.1.4.5

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x + 10 e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + 10 e^{- x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- x e^{- x} + 10 e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 10 e^{- x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x e^{- x} + 10 e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- x e^{- x} + 10 e^{- x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- x e^{- x} + 10 e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + 10 e^{- x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $10 e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 10 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 10$ .

$e^{- x} (- x + 10) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 10 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $- x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- x + 10$ к $0$ .

$- x + 10 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- x + 10 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 10$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 10$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 10$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $- 10$ на $- 1$ .

$x = 10$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- x} (- x + 10) = 0$ верно.

$x = 10$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $(x - 9) e^{- x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $10$ вместо $x$ .

$((10) - 9) \cdot e^{- (10)}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $9$ из $10$ .

$1 \cdot e^{- (10)}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $e^{- (10)}$ на $1$ .

$e^{- (10)}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 1$ на $10$ .

$e^{- 10}$

Этап 4.1.2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{10}}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(10, \frac{1}{e^{10}})$

Этап 5