Математический анализ Примеры

$h (p) = \frac{p - 5}{p^{2} + 2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [\frac{f (p)}{g (p)}]$ имеет вид $\frac{g (p) \frac{d}{d p} [f (p)] - f (p) \frac{d}{d p} [g (p)]}{{g (p)}^{2}}$ , где $f (p) = p - 5$ и $g (p) = p^{2} + 2$ .

$\frac{(p^{2} + 2) \frac{d}{d p} [p - 5] - (p - 5) \frac{d}{d p} [p^{2} + 2]}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $p - 5$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 5]$ .

$\frac{(p^{2} + 2) (\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 5]) - (p - 5) \frac{d}{d p} [p^{2} + 2]}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(p^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d p} [- 5]) - (p - 5) \frac{d}{d p} [p^{2} + 2]}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $p$ , производная $- 5$ относительно $p$ равна $0$ .

$\frac{(p^{2} + 2) (1 + 0) - (p - 5) \frac{d}{d p} [p^{2} + 2]}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(p^{2} + 2) \cdot 1 - (p - 5) \frac{d}{d p} [p^{2} + 2]}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $p^{2} + 2$ на $1$ .

$\frac{p^{2} + 2 - (p - 5) \frac{d}{d p} [p^{2} + 2]}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

По правилу суммы производная $p^{2} + 2$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [2]$ .

$\frac{p^{2} + 2 - (p - 5) (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [2])}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{p^{2} + 2 - (p - 5) (2 p + \frac{d}{d p} [2])}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $2$ является константой относительно $p$ , производная $2$ относительно $p$ равна $0$ .

$\frac{p^{2} + 2 - (p - 5) (2 p + 0)}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Добавим $2 p$ и $0$ .

$\frac{p^{2} + 2 - (p - 5) (2 p)}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{p^{2} + 2 - 2 (p - 5) p}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{p^{2} + 2 + (- 2 p - 2 \cdot - 5) p}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{p^{2} + 2 - 2 p \cdot p - 2 \cdot - 5 p}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.1

Перенесем $p$ .

$\frac{p^{2} + 2 - 2 (p \cdot p) - 2 \cdot - 5 p}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2

Умножим $p$ на $p$ .

$\frac{p^{2} + 2 - 2 p^{2} - 2 \cdot - 5 p}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$\frac{p^{2} + 2 - 2 p^{2} + 10 p}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $2 p^{2}$ из $p^{2}$ .

$\frac{- p^{2} + 2 + 10 p}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- p^{2} + 10 p + 2}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- p^{2}$ .

$\frac{- (p^{2}) + 10 p + 2}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $10 p$ .

$\frac{- (p^{2}) - (- 10 p) + 2}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (p^{2}) - (- 10 p)$ .

$\frac{- (p^{2} - 10 p) + 2}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.8

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (p^{2} - 10 p) - 1 (- 2)}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (p^{2} - 10 p) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (p^{2} - 10 p - 2)}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.10

Перепишем $- (p^{2} - 10 p - 2)$ в виде $- 1 (p^{2} - 10 p - 2)$ .

$\frac{- 1 (p^{2} - 10 p - 2)}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (p) = - \frac{p^{2} - 10 p - 2}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $h (p)$ по $p$ равна $- \frac{p^{2} - 10 p - 2}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{p^{2} - 10 p - 2}{{(p^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{p^{2} - 10 p - 2}{{(p^{2} + 2)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{p^{2} - 10 p - 2}{{(p^{2} + 2)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$p^{2} - 10 p - 2 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $p$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.3

Добавим $100$ и $8$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.4

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$p = \frac{10 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$p = \frac{10 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.3.3

Упростим $\frac{10 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$ .

$p = 5 \pm 3 \sqrt{3}$

Этап 2.3.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.3

Добавим $100$ и $8$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.4

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$p = \frac{10 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$p = \frac{10 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.4.3

Упростим $\frac{10 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$ .

$p = 5 \pm 3 \sqrt{3}$

Этап 2.3.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$p = 5 + 3 \sqrt{3}$

Этап 2.3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.3

Добавим $100$ и $8$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.4

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$p = \frac{10 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$p = \frac{10 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$p = \frac{10 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.5.3

Упростим $\frac{10 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$ .

$p = 5 \pm 3 \sqrt{3}$

Этап 2.3.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$p = 5 - 3 \sqrt{3}$

Этап 2.3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$p = 5 + 3 \sqrt{3}, 5 - 3 \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{p - 5}{p^{2} + 2}$ для каждого значения $p$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $p = 5 + 3 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $5 + 3 \sqrt{3}$ вместо $p$ .

$\frac{(5 + 3 \sqrt{3}) - 5}{{(5 + 3 \sqrt{3})}^{2} + 2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0 + 3 \sqrt{3}}{{(5 + 3 \sqrt{3})}^{2} + 2}$

Этап 4.1.2.1.2

Добавим $0$ и $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{{(5 + 3 \sqrt{3})}^{2} + 2}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Перепишем ${(5 + 3 \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(5 + 3 \sqrt{3}) (5 + 3 \sqrt{3})$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{(5 + 3 \sqrt{3}) (5 + 3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.1.2.2.2

Развернем $(5 + 3 \sqrt{3}) (5 + 3 \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \sqrt{3}}{5 (5 + 3 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} (5 + 3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \sqrt{3}}{5 \cdot 5 + 5 (3 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} (5 + 3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.1.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \sqrt{3}}{5 \cdot 5 + 5 (3 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} \cdot 5 + 3 \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.1.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 5 (3 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} \cdot 5 + 3 \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} \cdot 5 + 3 \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.3

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.4

Умножим $3 \sqrt{3} (3 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.1.4.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3} \sqrt{3} + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 {\sqrt{3}}^{2} + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{1} + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 9 \cdot 3 + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.1.6

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{25 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 27 + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.2

Добавим $25$ и $27$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{52 + 15 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 2}$

Этап 4.1.2.2.3.3

Добавим $15 \sqrt{3}$ и $15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{52 + 30 \sqrt{3} + 2}$

Этап 4.1.2.2.4

Добавим $52$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{54 + 30 \sqrt{3}}$

Этап 4.1.2.3

Сократим общий множитель $3$ и $54 + 30 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{54 + 30 \sqrt{3}}$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 18 + 30 \sqrt{3}}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $30 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 18 + 3 (10 \sqrt{3})}$

Этап 4.1.2.3.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (18) + 3 (10 \sqrt{3})$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 (18 + 10 \sqrt{3})}$

Этап 4.1.2.3.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 (18 + 10 \sqrt{3})}$

Этап 4.1.2.3.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{18 + 10 \sqrt{3}}$

Этап 4.1.2.4

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{18 + 10 \sqrt{3}}$ на $\frac{18 - 10 \sqrt{3}}{18 - 10 \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{18 + 10 \sqrt{3}} \cdot \frac{18 - 10 \sqrt{3}}{18 - 10 \sqrt{3}}$

Этап 4.1.2.5

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{18 + 10 \sqrt{3}}$ на $\frac{18 - 10 \sqrt{3}}{18 - 10 \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{(18 + 10 \sqrt{3}) (18 - 10 \sqrt{3})}$

Этап 4.1.2.6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{\sqrt{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{324 - 180 \sqrt{3} + 180 \sqrt{3} - 100 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.1.2.7

Упростим.

$\frac{\sqrt{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{24}$

Этап 4.1.2.8

Сократим общий множитель $18 - 10 \sqrt{3}$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Вынесем множитель $2$ из $\sqrt{3} (18 - 10 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} (9 - 5 \sqrt{3}))}{24}$

Этап 4.1.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} (9 - 5 \sqrt{3}))}{2 (12)}$

Этап 4.1.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\sqrt{3} (9 - 5 \sqrt{3}))}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} (9 - 5 \sqrt{3})}{12}$

Этап 4.1.2.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 9 + \sqrt{3} (- 5 \sqrt{3})}{12}$

Этап 4.1.2.10

Перенесем $9$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{9 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 5 \sqrt{3})}{12}$

Этап 4.1.2.11

Умножим $\sqrt{3} (- 5 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.11.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{9 \cdot \sqrt{3} - 5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{12}$

Этап 4.1.2.11.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{9 \cdot \sqrt{3} - 5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{12}$

Этап 4.1.2.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 \cdot \sqrt{3} - 5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{12}$

Этап 4.1.2.11.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 \cdot \sqrt{3} - 5 {\sqrt{3}}^{2}}{12}$

Этап 4.1.2.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{3} - 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{12}$

Этап 4.1.2.12.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{3} - 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{12}$

Этап 4.1.2.12.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{9 \sqrt{3} - 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{12}$

Этап 4.1.2.12.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sqrt{3} - 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{12}$

Этап 4.1.2.12.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \sqrt{3} - 5 \cdot 3^{1}}{12}$

Этап 4.1.2.12.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{9 \sqrt{3} - 5 \cdot 3}{12}$

Этап 4.1.2.12.2

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{9 \sqrt{3} - 15}{12}$

Этап 4.1.2.13

Сократим общий множитель $9 \sqrt{3} - 15$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $9 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (3 \sqrt{3}) - 15}{12}$

Этап 4.1.2.13.2

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$\frac{3 (3 \sqrt{3}) + 3 (- 5)}{12}$

Этап 4.1.2.13.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 \sqrt{3}) + 3 (- 5)$ .

$\frac{3 (3 \sqrt{3} - 5)}{12}$

Этап 4.1.2.13.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.13.4.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 (3 \sqrt{3} - 5)}{3 (4)}$

Этап 4.1.2.13.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (3 \sqrt{3} - 5)}{3 \cdot 4}$

Этап 4.1.2.13.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{3} - 5}{4}$

Этап 4.2

Найдем значение в $p = 5 - 3 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $5 - 3 \sqrt{3}$ вместо $p$ .

$\frac{(5 - 3 \sqrt{3}) - 5}{{(5 - 3 \sqrt{3})}^{2} + 2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0 - 3 \sqrt{3}}{{(5 - 3 \sqrt{3})}^{2} + 2}$

Этап 4.2.2.1.2

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $0$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{{(5 - 3 \sqrt{3})}^{2} + 2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Перепишем ${(5 - 3 \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(5 - 3 \sqrt{3}) (5 - 3 \sqrt{3})$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{(5 - 3 \sqrt{3}) (5 - 3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.2.2.2.2

Развернем $(5 - 3 \sqrt{3}) (5 - 3 \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{5 (5 - 3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} (5 - 3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.2.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{5 \cdot 5 + 5 (- 3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} (5 - 3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.2.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{5 \cdot 5 + 5 (- 3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} \cdot 5 - 3 \sqrt{3} (- 3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.2.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 + 5 (- 3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} \cdot 5 - 3 \sqrt{3} (- 3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.2

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} \cdot 5 - 3 \sqrt{3} (- 3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} (- 3 \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4

Умножим $- 3 \sqrt{3} (- 3 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.4.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3} \sqrt{3} + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 {\sqrt{3}}^{2} + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{1} + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 9 \cdot 3 + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.1.6

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{25 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 27 + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.2

Добавим $25$ и $27$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{52 - 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 2}$

Этап 4.2.2.2.3.3

Вычтем $15 \sqrt{3}$ из $- 15 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{52 - 30 \sqrt{3} + 2}$

Этап 4.2.2.2.4

Добавим $52$ и $2$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{54 - 30 \sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $54 - 30 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{3})}{54 - 30 \sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{3 (- \sqrt{3})}{3 (18) - 30 \sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 30 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{3})}{3 (18) + 3 (- 10 \sqrt{3})}$

Этап 4.2.2.3.1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (18) + 3 (- 10 \sqrt{3})$ .

$\frac{3 (- \sqrt{3})}{3 (18 - 10 \sqrt{3})}$

Этап 4.2.2.3.1.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- \sqrt{3})}{3 (18 - 10 \sqrt{3})}$

Этап 4.2.2.3.1.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{3}}{18 - 10 \sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{3}}{18 - 10 \sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.4

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{18 - 10 \sqrt{3}}$ на $\frac{18 + 10 \sqrt{3}}{18 + 10 \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{18 - 10 \sqrt{3}} \cdot \frac{18 + 10 \sqrt{3}}{18 + 10 \sqrt{3}})$

Этап 4.2.2.5

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{18 - 10 \sqrt{3}}$ на $\frac{18 + 10 \sqrt{3}}{18 + 10 \sqrt{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{(18 - 10 \sqrt{3}) (18 + 10 \sqrt{3})}$

Этап 4.2.2.6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{\sqrt{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{324 + 180 \sqrt{3} - 180 \sqrt{3} - 100 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.2.2.7

Упростим.

$- \frac{\sqrt{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{24}$

Этап 4.2.2.8

Сократим общий множитель $18 + 10 \sqrt{3}$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

Вынесем множитель $2$ из $\sqrt{3} (18 + 10 \sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3} (9 + 5 \sqrt{3}))}{24}$

Этап 4.2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3} (9 + 5 \sqrt{3}))}{2 (12)}$

Этап 4.2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (\sqrt{3} (9 + 5 \sqrt{3}))}{2 \cdot 12}$

Этап 4.2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{3} (9 + 5 \sqrt{3})}{12}$

Этап 4.2.2.9

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{3} \cdot 9 + \sqrt{3} (5 \sqrt{3})}{12}$

Этап 4.2.2.10

Перенесем $9$ влево от $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{3})}{12}$

Этап 4.2.2.11

Умножим $\sqrt{3} (5 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{9 \cdot \sqrt{3} + 5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{12}$

Этап 4.2.2.11.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{9 \cdot \sqrt{3} + 5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{12}$

Этап 4.2.2.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{9 \cdot \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{12}$

Этап 4.2.2.11.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{9 \cdot \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{2}}{12}$

Этап 4.2.2.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.12.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.12.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{12}$

Этап 4.2.2.12.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{12}$

Этап 4.2.2.12.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{12}$

Этап 4.2.2.12.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.12.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{12}$

Этап 4.2.2.12.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{1}}{12}$

Этап 4.2.2.12.1.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3}{12}$

Этап 4.2.2.12.2

Умножим $5$ на $3$ .

$- \frac{9 \sqrt{3} + 15}{12}$

Этап 4.2.2.13

Сократим общий множитель $9 \sqrt{3} + 15$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $9 \sqrt{3}$ .

$- \frac{3 (3 \sqrt{3}) + 15}{12}$

Этап 4.2.2.13.2

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$- \frac{3 (3 \sqrt{3}) + 3 (5)}{12}$

Этап 4.2.2.13.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 \sqrt{3}) + 3 (5)$ .

$- \frac{3 (3 \sqrt{3} + 5)}{12}$

Этап 4.2.2.13.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.13.4.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$- \frac{3 (3 \sqrt{3} + 5)}{3 (4)}$

Этап 4.2.2.13.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 (3 \sqrt{3} + 5)}{3 \cdot 4}$

Этап 4.2.2.13.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 \sqrt{3} + 5}{4}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(5 + 3 \sqrt{3}, \frac{3 \sqrt{3} - 5}{4}), (5 - 3 \sqrt{3}, - \frac{3 \sqrt{3} + 5}{4})$

Этап 5