Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} {(4 - 5 x)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(4 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 5 x)}^{3}] + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 4 - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 - 5 x]) + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x]) + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(4 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x]) + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $4 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(4 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (3 {(4 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(4 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(4 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 5$ на $3$ .

$x^{2} (- 15 {(4 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(4 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.7

Умножим $- 15$ на $1$ .

$x^{2} (- 15 {(4 - 5 x)}^{2}) + {(4 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(4 - 5 x)}^{2}) + {(4 - 5 x)}^{3} (2 x)$

Этап 1.1.3.9

Перенесем $2$ влево от ${(4 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(4 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(4 - 5 x)}^{3} x$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $x {(4 - 5 x)}^{2}$ из $x^{2} (- 15 {(4 - 5 x)}^{2}) + 2 {(4 - 5 x)}^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Вынесем множитель $x {(4 - 5 x)}^{2}$ из $x^{2} (- 15 {(4 - 5 x)}^{2})$ .

$x {(4 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(4 - 5 x)}^{3} x$

Этап 1.1.4.1.2

Вынесем множитель $x {(4 - 5 x)}^{2}$ из $2 {(4 - 5 x)}^{3} x$ .

$x {(4 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(4 - 5 x)}^{2} (2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.1.3

Вынесем множитель $x {(4 - 5 x)}^{2}$ из $x {(4 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(4 - 5 x)}^{2} (2 (4 - 5 x))$ .

$x {(4 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.2

Перенесем $- 15$ влево от $x$ .

$x {(4 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.3

Перепишем ${(4 - 5 x)}^{2}$ в виде $(4 - 5 x) (4 - 5 x)$ .

$x ((4 - 5 x) (4 - 5 x)) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.4

Развернем $(4 - 5 x) (4 - 5 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (4 (4 - 5 x) - 5 x (4 - 5 x)) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (4 \cdot 4 + 4 (- 5 x) - 5 x (4 - 5 x)) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (4 \cdot 4 + 4 (- 5 x) - 5 x \cdot 4 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$x (16 + 4 (- 5 x) - 5 x \cdot 4 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.2

Умножим $- 5$ на $4$ .

$x (16 - 20 x - 5 x \cdot 4 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$x (16 - 20 x - 20 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x (16 - 20 x - 20 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x (16 - 20 x - 20 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x (16 - 20 x - 20 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$x (16 - 20 x - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.2

Вычтем $20 x$ из $- 20 x$ .

$x (16 - 40 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot 16 + x (- 40 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1

Перенесем $16$ влево от $x$ .

$(16 \cdot x + x (- 40 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(16 \cdot x - 40 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(16 \cdot x - 40 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1.1

Перенесем $x$ .

$(16 x - 40 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(16 x - 40 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(16 x - 40 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(16 x - 40 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(16 x - 40 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(16 x - 40 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (4 - 5 x))$

Этап 1.1.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(16 x - 40 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 4 + 2 (- 5 x))$

Этап 1.1.4.9.2

Умножим $2$ на $4$ .

$(16 x - 40 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 8 + 2 (- 5 x))$

Этап 1.1.4.9.3

Умножим $- 5$ на $2$ .

$(16 x - 40 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 8 - 10 x)$

Этап 1.1.4.10

Вычтем $10 x$ из $- 15 x$ .

$(16 x - 40 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 8)$

Этап 1.1.4.11

Развернем $(16 x - 40 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 8)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$16 x (- 25 x) + 16 x \cdot 8 - 40 x^{2} (- 25 x) - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 \cdot - 25 x \cdot x + 16 x \cdot 8 - 40 x^{2} (- 25 x) - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.2.1

Перенесем $x$ .

$16 \cdot - 25 (x \cdot x) + 16 x \cdot 8 - 40 x^{2} (- 25 x) - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 \cdot - 25 x^{2} + 16 x \cdot 8 - 40 x^{2} (- 25 x) - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.3

Умножим $16$ на $- 25$ .

$- 400 x^{2} + 16 x \cdot 8 - 40 x^{2} (- 25 x) - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.4

Умножим $8$ на $16$ .

$- 400 x^{2} + 128 x - 40 x^{2} (- 25 x) - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 400 x^{2} + 128 x - 40 \cdot - 25 x^{2} x - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.6.1

Перенесем $x$ .

$- 400 x^{2} + 128 x - 40 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 400 x^{2} + 128 x - 40 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 400 x^{2} + 128 x - 40 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 400 x^{2} + 128 x - 40 \cdot - 25 x^{3} - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.7

Умножим $- 40$ на $- 25$ .

$- 400 x^{2} + 128 x + 1000 x^{3} - 40 x^{2} \cdot 8 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.8

Умножим $8$ на $- 40$ .

$- 400 x^{2} + 128 x + 1000 x^{3} - 320 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 400 x^{2} + 128 x + 1000 x^{3} - 320 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.10

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.10.1

Перенесем $x$ .

$- 400 x^{2} + 128 x + 1000 x^{3} - 320 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.10.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 400 x^{2} + 128 x + 1000 x^{3} - 320 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 400 x^{2} + 128 x + 1000 x^{3} - 320 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.10.3

Добавим $1$ и $3$ .

$- 400 x^{2} + 128 x + 1000 x^{3} - 320 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.11

Умножим $25$ на $- 25$ .

$- 400 x^{2} + 128 x + 1000 x^{3} - 320 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 8$

Этап 1.1.4.12.12

Умножим $8$ на $25$ .

$- 400 x^{2} + 128 x + 1000 x^{3} - 320 x^{2} - 625 x^{4} + 200 x^{3}$

Этап 1.1.4.13

Вычтем $320 x^{2}$ из $- 400 x^{2}$ .

$- 720 x^{2} + 128 x + 1000 x^{3} - 625 x^{4} + 200 x^{3}$

Этап 1.1.4.14

Добавим $1000 x^{3}$ и $200 x^{3}$ .

$f' (x) = - 720 x^{2} + 128 x - 625 x^{4} + 1200 x^{3}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 720 x^{2} + 128 x - 625 x^{4} + 1200 x^{3}$ .

$- 720 x^{2} + 128 x - 625 x^{4} + 1200 x^{3}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 720 x^{2} + 128 x - 625 x^{4} + 1200 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 720 x^{2} + 128 x - 625 x^{4} + 1200 x^{3} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 720 x^{2} + 128 x - 625 x^{4} + 1200 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 720 x^{2}$ .

$x (- 720 x) + 128 x - 625 x^{4} + 1200 x^{3} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $128 x$ .

$x (- 720 x) + x \cdot 128 - 625 x^{4} + 1200 x^{3} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 625 x^{4}$ .

$x (- 720 x) + x \cdot 128 + x (- 625 x^{3}) + 1200 x^{3} = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $1200 x^{3}$ .

$x (- 720 x) + x \cdot 128 + x (- 625 x^{3}) + x (1200 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- 720 x) + x \cdot 128$ .

$x (- 720 x + 128) + x (- 625 x^{3}) + x (1200 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (- 720 x + 128) + x (- 625 x^{3})$ .

$x (- 720 x + 128 - 625 x^{3}) + x (1200 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $x$ из $x (- 720 x + 128 - 625 x^{3}) + x (1200 x^{2})$ .

$x (- 720 x + 128 - 625 x^{3} + 1200 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.2

Изменим порядок членов.

$x (- 625 x^{3} + 1200 x^{2} - 720 x + 128) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разложим $- 625 x^{3} + 1200 x^{2} - 720 x + 128$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

Этап 2.2.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 128, \pm 0.2048, \pm 25.6, \pm 1.024, \pm 5.12, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08, \pm 64, \pm 0.1024, \pm 12.8, \pm 0.512, \pm 2.56, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16, \pm 32, \pm 0.0512, \pm 6.4, \pm 0.256, \pm 1.28, \pm 8, \pm 0.0128, \pm 1.6, \pm 0.064, \pm 0.32, \pm 16, \pm 0.0256, \pm 3.2, \pm 0.128, \pm 0.64$

Этап 2.2.3.1.3

Подставим $0.8$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.8$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Подставим $0.8$ в многочлен.

$- 625 \cdot {0.8}^{3} + 1200 \cdot {0.8}^{2} - 720 \cdot 0.8 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.2

Возведем $0.8$ в степень $3$ .

$- 625 \cdot 0.512 + 1200 \cdot {0.8}^{2} - 720 \cdot 0.8 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.3

Умножим $- 625$ на $0.512$ .

$- 320 + 1200 \cdot {0.8}^{2} - 720 \cdot 0.8 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.4

Возведем $0.8$ в степень $2$ .

$- 320 + 1200 \cdot 0.64 - 720 \cdot 0.8 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.5

Умножим $1200$ на $0.64$ .

$- 320 + 768 - 720 \cdot 0.8 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.6

Добавим $- 320$ и $768$ .

$448 - 720 \cdot 0.8 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.7

Умножим $- 720$ на $0.8$ .

$448 - 576 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.8

Вычтем $576$ из $448$ .

$- 128 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.9

Добавим $- 128$ и $128$ .

$0$

Этап 2.2.3.1.4

Поскольку $0.8$ — известный корень, разделим многочлен на $5 x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 625 x^{3} + 1200 x^{2} - 720 x + 128}{5 x - 4}$

Этап 2.2.3.1.5

Разделим $- 625 x^{3} + 1200 x^{2} - 720 x + 128$ на $5 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5 x$

$4$

$625 x^{3}$

$1200 x^{2}$

$720 x$

$128$

Этап 2.2.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 625 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$

Этап 2.2.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			-	$625 x^{3}$	+	$500 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 625 x^{3} + 500 x^{2}$ .

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$	-	$720 x$

Этап 2.2.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $700 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$140 x$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$	-	$720 x$

Этап 2.2.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$125 x^{2}$	+	$140 x$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$	-	$720 x$
					+	$700 x^{2}$	-	$560 x$

Этап 2.2.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $700 x^{2} - 560 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$140 x$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$	-	$720 x$
					-	$700 x^{2}$	+	$560 x$

Этап 2.2.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$125 x^{2}$	+	$140 x$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$	-	$720 x$
					-	$700 x^{2}$	+	$560 x$
							-	$160 x$

Этап 2.2.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$125 x^{2}$	+	$140 x$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$	-	$720 x$
					-	$700 x^{2}$	+	$560 x$
							-	$160 x$	+	$128$

Этап 2.2.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 160 x$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$140 x$	-	$32$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$	-	$720 x$
					-	$700 x^{2}$	+	$560 x$
							-	$160 x$	+	$128$

Этап 2.2.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$125 x^{2}$	+	$140 x$	-	$32$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$	-	$720 x$
					-	$700 x^{2}$	+	$560 x$
							-	$160 x$	+	$128$
							-	$160 x$	+	$128$

Этап 2.2.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 160 x + 128$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$140 x$	-	$32$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$	-	$720 x$
					-	$700 x^{2}$	+	$560 x$
							-	$160 x$	+	$128$
							+	$160 x$	-	$128$

Этап 2.2.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$125 x^{2}$	+	$140 x$	-	$32$
$5 x$	-	$4$	-	$625 x^{3}$	+	$1200 x^{2}$	-	$720 x$	+	$128$
			+	$625 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					+	$700 x^{2}$	-	$720 x$
					-	$700 x^{2}$	+	$560 x$
							-	$160 x$	+	$128$
							+	$160 x$	-	$128$
										$0$

Этап 2.2.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 125 x^{2} + 140 x - 32$

Этап 2.2.3.1.6

Запишем $- 625 x^{3} + 1200 x^{2} - 720 x + 128$ в виде набора множителей.

$x ((5 x - 4) (- 125 x^{2} + 140 x - 32)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (5 x - 4) (- 125 x^{2} + 140 x - 32) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 125 \cdot - 32 = 4000$ , а сумма — $b = 140$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1.1

Вынесем множитель $140$ из $140 x$ .

$x (5 x - 4) (- 125 x^{2} + 140 (x) - 32) = 0$

Этап 2.2.4.1.1.2

Запишем $140$ как $40$ плюс $100$

$x (5 x - 4) (- 125 x^{2} + (40 + 100) x - 32) = 0$

Этап 2.2.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (5 x - 4) (- 125 x^{2} + 40 x + 100 x - 32) = 0$

Этап 2.2.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x (5 x - 4) ((- 125 x^{2} + 40 x) + 100 x - 32) = 0$

Этап 2.2.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (5 x - 4) (5 x (- 25 x + 8) - 4 (- 25 x + 8)) = 0$

Этап 2.2.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 25 x + 8$ .

$x (5 x - 4) ((- 25 x + 8) (5 x - 4)) = 0$

Этап 2.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (5 x - 4) (- 25 x + 8) (5 x - 4) = 0$

Этап 2.2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Возведем $5 x - 4$ в степень $1$ .

$x ((5 x - 4) (5 x - 4)) (- 25 x + 8) = 0$

Этап 2.2.5.2

Возведем $5 x - 4$ в степень $1$ .

$x ((5 x - 4) (5 x - 4)) (- 25 x + 8) = 0$

Этап 2.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x {(5 x - 4)}^{1 + 1} (- 25 x + 8) = 0$

Этап 2.2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x {(5 x - 4)}^{2} (- 25 x + 8) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(5 x - 4)}^{2} = 0$

$- 25 x + 8 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем ${(5 x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(5 x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(5 x - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(5 x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $5 x - 4$ к $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Этап 2.5.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 4$

Этап 2.5.2.2.2

Разделим каждый член $5 x = 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 4$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Этап 2.5.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Этап 2.6

Приравняем $- 25 x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $- 25 x + 8$ к $0$ .

$- 25 x + 8 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $- 25 x + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 25 x = - 8$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $- 25 x = - 8$ на $- 25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $- 25 x = - 8$ на $- 25$ .

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 8}{- 25}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 8}{- 25}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 25}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{8}{25}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x {(5 x - 4)}^{2} (- 25 x + 8) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{4}{5}, \frac{8}{25}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{2} {(4 - 5 x)}^{3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} {(4 - 5 \cdot 0)}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 {(4 - 5 \cdot 0)}^{3}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 5$ на $0$ .

$0 {(4 + 0)}^{3}$

Этап 4.1.2.3

Добавим $4$ и $0$ .

$0 \cdot 4^{3}$

Этап 4.1.2.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$0 \cdot 64$

Этап 4.1.2.5

Умножим $0$ на $64$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{4}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{4}{5}$ вместо $x$ .

${(\frac{4}{5})}^{2} {(4 - 5 (\frac{4}{5}))}^{3}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4^{2}}{5^{2}} {(4 - 5 (\frac{4}{5}))}^{3}$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{5^{2}} {(4 - 5 (\frac{4}{5}))}^{3}$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{16}{25} {(4 - 5 (\frac{4}{5}))}^{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{16}{25} {(4 + 5 (- 1) \frac{4}{5})}^{3}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{25} {(4 + 5 \cdot - 1 \frac{4}{5})}^{3}$

Этап 4.2.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{25} {(4 - 1 \cdot 4)}^{3}$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{16}{25} {(4 - 4)}^{3}$

Этап 4.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{16}{25} \cdot 0^{3}$

Этап 4.2.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{16}{25} \cdot 0$

Этап 4.2.2.3.3

Умножим $\frac{16}{25}$ на $0$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{8}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{8}{25}$ вместо $x$ .

${(\frac{8}{25})}^{2} {(4 - 5 (\frac{8}{25}))}^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8}{25}$ .

$\frac{8^{2}}{25^{2}} {(4 - 5 (\frac{8}{25}))}^{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{64}{25^{2}} {(4 - 5 (\frac{8}{25}))}^{3}$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $25$ в степень $2$ .

$\frac{64}{625} {(4 - 5 (\frac{8}{25}))}^{3}$

Этап 4.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{64}{625} {(4 + 5 (- 1) \frac{8}{25})}^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{64}{625} {(4 + 5 \cdot - 1 \frac{8}{5 \cdot 5})}^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{64}{625} {(4 + 5 \cdot - 1 \frac{8}{5 \cdot 5})}^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{64}{625} {(4 - 1 (\frac{8}{5}))}^{3}$

Этап 4.3.2.2.2

Перепишем $- 1 (\frac{8}{5})$ в виде $- (\frac{8}{5})$ .

$\frac{64}{625} {(4 - \frac{8}{5})}^{3}$

Этап 4.3.2.3

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{64}{625} {(4 \cdot \frac{5}{5} - \frac{8}{5})}^{3}$

Этап 4.3.2.4

Объединим $4$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{64}{625} {(\frac{4 \cdot 5}{5} - \frac{8}{5})}^{3}$

Этап 4.3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64}{625} {(\frac{4 \cdot 5 - 8}{5})}^{3}$

Этап 4.3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{64}{625} {(\frac{20 - 8}{5})}^{3}$

Этап 4.3.2.6.2

Вычтем $8$ из $20$ .

$\frac{64}{625} {(\frac{12}{5})}^{3}$

Этап 4.3.2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.7.1

Применим правило умножения к $\frac{12}{5}$ .

$\frac{64}{625} \cdot \frac{12^{3}}{5^{3}}$

Этап 4.3.2.7.2

Объединим.

$\frac{64 \cdot 12^{3}}{625 \cdot 5^{3}}$

Этап 4.3.2.7.3

Возведем $12$ в степень $3$ .

$\frac{64 \cdot 1728}{625 \cdot 5^{3}}$

Этап 4.3.2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.8.1

Перепишем $625$ в виде $5^{4}$ .

$\frac{64 \cdot 1728}{5^{4} \cdot 5^{3}}$

Этап 4.3.2.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{64 \cdot 1728}{5^{4 + 3}}$

Этап 4.3.2.8.3

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{64 \cdot 1728}{5^{7}}$

Этап 4.3.2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.9.1

Умножим $64$ на $1728$ .

$\frac{110592}{5^{7}}$

Этап 4.3.2.9.2

Возведем $5$ в степень $7$ .

$\frac{110592}{78125}$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (\frac{4}{5}, 0), (\frac{8}{25}, \frac{110592}{78125})$

Этап 5