Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{(\ln (x))}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 - \ln (x) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (x) = - 1$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- \ln (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- \ln (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Этап 2.3.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Этап 2.3.4

Перепишем $\ln (x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Этап 2.3.5

Перепишем уравнение в виде $x = e^{1}$ .

$x = e$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 3.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 4

Вычислим $\frac{\ln (x)}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $e$ вместо $x$ .

$\frac{\ln (e)}{e}$

Этап 4.1.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{1}{e}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{\ln (0)}{0}$

Этап 4.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(e, \frac{1}{e})$

Этап 5