Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos^{2} (x) - \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\cos^{2} (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- 2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) (- 2 \sin (x)) - \cos (x) = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\cos (x) (- 2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (- 2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\cos (x) (- 2 \sin (x) - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 2.4.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 2.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.4.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.4.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.4.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Приравняем $- 2 \sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- 2 \sin (x) - 1$ к $0$ .

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- 2 \sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin (x) = 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 2.5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 2.5.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 2.5.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 2.5.2.6.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 2.5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 2.5.2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.5.2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.5.2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.5.2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.8.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 2.5.2.8.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 2.5.2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 2.5.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (x) (- 2 \sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\cos^{2} (x) - \sin (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{2}$ вместо $x$ .

$\cos^{2} (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0^{2} - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 4.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 4.1.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{3 π}{2}$ вместо $x$ .

$\cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos^{2} (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0^{2} - \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.2.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$0 - - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 4.2.2.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 - (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - - 1$

Этап 4.2.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{7 π}{6}$ вместо $x$ .

$\cos^{2} (\frac{7 π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

${(- \cos (\frac{π}{6}))}^{2} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{2^{2}} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4} - \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$\frac{3}{4} - - \sin (\frac{π}{6})$

Этап 4.3.2.1.9

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} - - \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.1.10

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.1.10.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 4.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 2}{4}$

Этап 4.3.2.5

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{5}{4}$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, - 1), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 1), (\frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{5}{4})$ , для любого целого $n$

Этап 5