Математический анализ Примеры

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1

Разделим, используя метод деления многочленов в столбик.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$4$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$4$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$4$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$4$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$4$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$4$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$7 x$

$4$

Этап 1.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{2} + \frac{7 x - 4}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 2

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{7 x - 4}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Этап 2.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{7 x - 4}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 2.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{7 x - 4}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 2.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(7 x - 4) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x - 4) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 2.5.2

Разделим $7 x - 4$ на $1$ .

$7 x - 4 = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Сократим общий множитель.

$7 x - 4 = \frac{A {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 2.6.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$7 x - 4 = A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ и $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(B) {(x - 1)}^{2}$ .

$7 x - 4 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$7 x - 4 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Этап 2.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$7 x - 4 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Этап 2.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$7 x - 4 = A + \frac{B (x - 1)}{1}$

Этап 2.6.2.2.4

Разделим $B (x - 1)$ на $1$ .

$7 x - 4 = A + B (x - 1)$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x - 4 = A + B x + B \cdot - 1$

Этап 2.6.4

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$7 x - 4 = A + B x - 1 \cdot B$

Этап 2.6.5

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$7 x - 4 = A + B x - B$

Этап 2.7

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$7 x - 4 = B x + A - B$

Этап 3

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$7 = B$

Этап 3.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 4 = A - 1 B$

Этап 3.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$7 = B$

$- 4 = A - 1 B$

$7 = B$

$- 4 = A - 1 B$

Этап 4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $B = 7$ .

$B = 7$

$- 4 = A - 1 B$

Этап 4.2

Заменим все вхождения $B$ на $7$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 4 = A - 1 B$ на $7$ .

$- 4 = A - 1 \cdot 7$

$B = 7$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- 4 = A - 7$

$B = 7$

$- 4 = A - 7$

$B = 7$

$- 4 = A - 7$

$B = 7$

Этап 4.3

Решим относительно $A$ в $- 4 = A - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $A - 7 = - 4$ .

$A - 7 = - 4$

$B = 7$

Этап 4.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$A = - 4 + 7$

$B = 7$

Этап 4.3.2.2

Добавим $- 4$ и $7$ .

$A = 3$

$B = 7$

$A = 3$

$B = 7$

$A = 3$

$B = 7$

Этап 4.4

Решим систему уравнений.

$A = 3 B = 7$

Этап 4.5

Перечислим все решения.

$A = 3, B = 7$

Этап 5

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $x^{2} + \frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$x^{2} + \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{7}{x - 1}$