Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) + x^{3} - 7 x + 2$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) + x^{3} - 7 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 + 0$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $\cos (x) + 3 x^{2} - 7$ и $0$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7$

Этап 1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 + \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 7 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 x + 0 - \sin (x)$

Этап 2.5

Добавим $6 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - \sin (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 6 - \cos (x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $6 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 4.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Этап 4.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$0 + \sin (x)$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$f^{4} (x) = \sin (x)$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $\sin (x)$ .

$\sin (x)$