Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan (4 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1)$

Этап 1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\sec^{2} (4 x) \cdot 4$

Этап 1.2.3.2

Перенесем $4$ влево от $\sec^{2} (4 x)$ .

$f' (x) = 4 \sec^{2} (4 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sec^{2} (4 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (4 x)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (4 x)$ .

$4 (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$8 \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.4.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$8 \sec (4 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$8 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.5

Возведем $\sec (4 x)$ в степень $1$ .

$8 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.6

Возведем $\sec (4 x)$ в степень $1$ .

$8 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 {\sec (4 x)}^{1 + 1} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$8 \sec^{2} (4 x) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.10

Умножим $4$ на $8$ .

$32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) \cdot 1$

Этап 2.12

Умножим $32$ на $1$ .

$f'' (x) = 32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x)$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan (4 x)]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan (4 x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec^{2} (4 x)$ и $g (x) = \tan (4 x)$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.4

Умножим $\sec^{2} (4 x)$ на $\sec^{2} (4 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $\sec^{2} (4 x)$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$32 ({\sec (4 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) (4 \cdot 1) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) \cdot 4 + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.5.3.2

Перенесем $4$ влево от $\sec^{4} (4 x)$ .

$32 (4 \cdot \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sec (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Этап 3.7

Перенесем $2$ влево от $\tan (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \cdot \tan (4 x) \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Этап 3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $4 x$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 3.8.2

Производная $\sec (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 3.8.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $4 x$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 3.9

Возведем $\tan (4 x)$ в степень $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 (\tan^{1} (4 x) \tan (4 x)) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 3.10

Возведем $\tan (4 x)$ в степень $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 (\tan^{1} (4 x) \tan^{1} (4 x)) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 {\tan (4 x)}^{1 + 1} \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 3.13

Возведем $\sec (4 x)$ в степень $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.14

Возведем $\sec (4 x)$ в степень $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) {\sec (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.16

Добавим $1$ и $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.17

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.18

Умножим $4$ на $2$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \cdot 1)$

Этап 3.20

Умножим $8$ на $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Этап 3.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$32 (4 \sec^{4} (4 x)) + 32 (8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Этап 3.21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.21.2.1

Умножим $4$ на $32$ .

$128 \sec^{4} (4 x) + 32 (8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Этап 3.21.2.2

Умножим $8$ на $32$ .

$128 \sec^{4} (4 x) + 256 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

Этап 3.21.3

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = 256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x) + 128 \sec^{4} (4 x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x) + 128 \sec^{4} (4 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $256$ является константой относительно $x$ , производная $256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)$ по $x$ равна $256 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)]$ .

$256 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.2

$256 (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (4 x)] + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.3.2

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.4.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\sec (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\sec (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.8.2

Производная $\sec (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.8.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.11

Умножим $4$ на $1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) \cdot 4)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.12

Перенесем $4$ влево от $\sec^{2} (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (4 \cdot \sec^{2} (4 x))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.13

Умножим $4$ на $2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (8 \tan (4 x) \sec^{2} (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.14

Умножим $\sec^{2} (4 x)$ на $\sec^{2} (4 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.14.1

Перенесем $\sec^{2} (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.14.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 ({\sec (4 x)}^{2 + 2} (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.14.3

Добавим $2$ и $2$ .

$256 (\sec^{4} (4 x) (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.15

Перенесем $8$ влево от $\sec^{4} (4 x)$ .

$256 (8 \cdot \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.16

Умножим $4$ на $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.17

Перенесем $4$ влево от $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x))))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.18

Умножим $4$ на $2$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.19

Возведем $\sec (4 x)$ в степень $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.20

Возведем $\sec (4 x)$ в степень $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 {\sec (4 x)}^{1 + 1} \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.22

Добавим $1$ и $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.23

Умножим $\tan^{2} (4 x)$ на $\tan (4 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.23.1

Перенесем $\tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan (4 x) \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.23.2

Умножим $\tan (4 x)$ на $\tan^{2} (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.23.2.1

Возведем $\tan (4 x)$ в степень $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{1} (4 x) \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.23.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + {\tan (4 x)}^{1 + 2} (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.23.3

Добавим $1$ и $2$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{3} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.2.24

Перенесем $8$ влево от $\tan^{3} (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $128$ является константой относительно $x$ , производная $128 \sec^{4} (4 x)$ по $x$ равна $128 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (4 x)]$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (4 x)]$

Этап 4.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $\sec (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Этап 4.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{5}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $\sec (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{6}$ как $4 x$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sec (u_{6})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 4.3.3.2

Производная $\sec (u_{6})$ по $u_{6}$ равна $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{6}$ на $4 x$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 4.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))$

Этап 4.3.6

Умножим $4$ на $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4))$

Этап 4.3.7

Перенесем $4$ влево от $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x))))$

Этап 4.3.8

Умножим $4$ на $4$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x)))$

Этап 4.3.9

Возведем $\sec (4 x)$ в степень $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 (\sec^{1} (4 x) \sec^{3} (4 x)) \tan (4 x))$

Этап 4.3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 {\sec (4 x)}^{1 + 3} \tan (4 x))$

Этап 4.3.11

Добавим $1$ и $3$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x))$

Этап 4.3.12

Умножим $16$ на $128$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)) + 256 (8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Этап 4.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $8$ на $256$ .

$2048 (\sec^{4} (4 x) \tan (4 x)) + 256 (8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Этап 4.4.2.2

Умножим $8$ на $256$ .

$2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 (\tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Этап 4.4.2.3

Добавим $2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$ и $2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$ .

$f^{4} (x) = 4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$ .

$4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$