Математический анализ Примеры

$f (t) = \frac{t^{3} - 2 t^{2}}{(1 - t)}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{3} - 2 t^{2}$ и $g (t) = 1 - t$ .

$\frac{(1 - t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 2 t^{2}] - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $t^{3} - 2 t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

$\frac{(1 - t) (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 t^{2}$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 2 (2 t)) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.6

По правилу суммы производная $1 - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) - (t^{3} - 2 t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) - (t^{3} - 2 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [- t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) - (t^{3} - 2 t^{2}) (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) + 1 (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.10.2

Умножим $t^{3} - 2 t^{2}$ на $1$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) + (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) + (t^{3} - 2 t^{2}) \cdot 1}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.2.12

Умножим $t^{3} - 2 t^{2}$ на $1$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Развернем $(1 - t) (3 t^{2} - 4 t)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (3 t^{2} - 4 t) - t (3 t^{2} - 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (3 t^{2}) + 1 (- 4 t) - t (3 t^{2} - 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (3 t^{2}) + 1 (- 4 t) - t (3 t^{2}) - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.2.1.1

Умножим $3 t^{2}$ на $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 (- 4 t) - t (3 t^{2}) - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.2

Умножим $- 4 t$ на $1$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - t (3 t^{2}) - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 3 t \cdot t^{2} - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.4

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.2.1.4.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 3 (t^{2} t) - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.4.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.2.1.4.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 3 (t^{2} t^{1}) - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 3 t^{2 + 1} - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 3 t^{3} - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} - 1 \cdot - 4 t \cdot t + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.7

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.2.1.7.1

Перенесем $t$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} - 1 \cdot - 4 (t \cdot t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.7.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} - 1 \cdot - 4 t^{2} + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.1.8

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} + 4 t^{2} + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.1.2.2

Добавим $3 t^{2}$ и $4 t^{2}$ .

$\frac{7 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $2 t^{2}$ из $7 t^{2}$ .

$\frac{- 4 t - 3 t^{3} + t^{3} + 5 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.1.3

Добавим $- 3 t^{3}$ и $t^{3}$ .

$\frac{- 4 t - 2 t^{3} + 5 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $t$ из $- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $t$ из $- 2 t^{3}$ .

$\frac{t (- 2 t^{2}) + 5 t^{2} - 4 t}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Вынесем множитель $t$ из $5 t^{2}$ .

$\frac{t (- 2 t^{2}) + t (5 t) - 4 t}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.3

Вынесем множитель $t$ из $- 4 t$ .

$\frac{t (- 2 t^{2}) + t (5 t) + t \cdot - 4}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.4

Вынесем множитель $t$ из $t (- 2 t^{2}) + t (5 t)$ .

$\frac{t (- 2 t^{2} + 5 t) + t \cdot - 4}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.5

Вынесем множитель $t$ из $t (- 2 t^{2} + 5 t) + t \cdot - 4$ .

$\frac{t (- 2 t^{2} + 5 t - 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 t^{2}$ .

$\frac{t (- (2 t^{2}) + 5 t - 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $5 t$ .

$\frac{t (- (2 t^{2}) - (- 5 t) - 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 t^{2}) - (- 5 t)$ .

$\frac{t (- (2 t^{2} - 5 t) - 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.7

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{t (- (2 t^{2} - 5 t) - 1 (4))}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 t^{2} - 5 t) - 1 (4)$ .

$\frac{t (- (2 t^{2} - 5 t + 4))}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.9

Перепишем $- (2 t^{2} - 5 t + 4)$ в виде $- 1 (2 t^{2} - 5 t + 4)$ .

$\frac{t (- 1 (2 t^{2} - 5 t + 4))}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (t) = - \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = - 1$ и $g (t) = \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}}] + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t (2 t^{2} - 5 t + 4)] - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{({(- t + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(- t + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t (2 t^{2} - 5 t + 4)] - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t (2 t^{2} - 5 t + 4)] - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.4

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 5 t + 4] + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $2 t^{2} - 5 t + 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{2}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $t$ , производная $- 5 t$ по $t$ равна $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5.7

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5 + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5.8

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4$ относительно $t$ равна $0$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5 + 0) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5.9

Добавим $4 t - 5$ и $0$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \cdot 1) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.5.11

Умножим $2 t^{2} - 5 t + 4$ на $1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = - t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- t + 1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) (2 u \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $- t + 1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) (2 (- t + 1) \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) ((- t + 1) \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $- t + 1$ из ${(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) ((- t + 1) \frac{d}{d t} [- t + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $- t + 1$ из ${(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4)$ .

$- \frac{(- t + 1) ((- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4)) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) ((- t + 1) \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $- t + 1$ из $- 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) ((- t + 1) \frac{d}{d t} [- t + 1])$ .

$- \frac{(- t + 1) ((- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4)) + (- t + 1) (- 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.7.2.3

Вынесем множитель $- t + 1$ из $(- t + 1) ((- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4)) + (- t + 1) (- 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))$ .

$- \frac{(- t + 1) ((- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $- t + 1$ из ${(- t + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(- t + 1) ((- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{(- t + 1) {(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.8.2

Сократим общий множитель.

Этап 2.8.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.9

По правилу суммы производная $- t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (- \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (- 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.13

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (- 1 + 0)}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Добавим $- 1$ и $0$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) \cdot - 1}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.14.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \cdot 0$

Этап 2.16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Умножим $\frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$ на $0$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}} + 0$

Этап 2.16.2

Добавим $- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}}$ и $0$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t) + t \cdot - 5 + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t) + t \cdot - 5 + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{(- t + 1) (4 t \cdot t + t \cdot - 5 + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.1.2.1

Перенесем $t$ .

$- \frac{(- t + 1) (4 (t \cdot t) + t \cdot - 5 + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$- \frac{(- t + 1) (4 t^{2} + t \cdot - 5 + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.1.3

Перенесем $- 5$ влево от $t$ .

$- \frac{(- t + 1) (4 t^{2} - 5 t + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.2

Добавим $4 t^{2}$ и $2 t^{2}$ .

$- \frac{(- t + 1) (6 t^{2} - 5 t - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.3

Вычтем $5 t$ из $- 5 t$ .

$- \frac{(- t + 1) (6 t^{2} - 10 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.4

Развернем $(- t + 1) (6 t^{2} - 10 t + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- \frac{- t (6 t^{2}) - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{- 1 \cdot 6 t \cdot t^{2} - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.5.2.1

Перенесем $t^{2}$ .

$- \frac{- 1 \cdot 6 (t^{2} t) - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.2.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.5.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$- \frac{- 1 \cdot 6 (t^{2} t^{1}) - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{- 1 \cdot 6 t^{2 + 1} - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{- 1 \cdot 6 t^{3} - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- \frac{- 6 t^{3} - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{- 6 t^{3} - 1 \cdot - 10 t \cdot t - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.5

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.5.5.1

Перенесем $t$ .

$- \frac{- 6 t^{3} - 1 \cdot - 10 (t \cdot t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.5.2

Умножим $t$ на $t$ .

$- \frac{- 6 t^{3} - 1 \cdot - 10 t^{2} - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.6

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 10 t^{2} - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 10 t^{2} - 4 t + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.8

Умножим $6 t^{2}$ на $1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 10 t^{2} - 4 t + 6 t^{2} + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.9

Умножим $- 10 t$ на $1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 10 t^{2} - 4 t + 6 t^{2} - 10 t + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.5.10

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 10 t^{2} - 4 t + 6 t^{2} - 10 t + 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.6

Добавим $10 t^{2}$ и $6 t^{2}$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 4 t - 10 t + 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.7

Вычтем $10 t$ из $- 4 t$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 \cdot 2 t \cdot t^{2} + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.9

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.9.1

Перенесем $t^{2}$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 \cdot 2 (t^{2} t) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.9.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.9.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 \cdot 2 (t^{2} t^{1}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 \cdot 2 t^{2 + 1} + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 \cdot 2 t^{3} + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.10

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} + 2 \cdot - 5 t \cdot t + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.12

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.12.1

Перенесем $t$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} + 2 \cdot - 5 (t \cdot t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.12.2

Умножим $t$ на $t$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} + 2 \cdot - 5 t^{2} + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.13

Умножим $2$ на $- 5$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.1.14

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} - 10 t^{2} + 8 t}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.2

Добавим $- 6 t^{3}$ и $4 t^{3}$ .

$- \frac{- 2 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 - 10 t^{2} + 8 t}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.3

Вычтем $10 t^{2}$ из $16 t^{2}$ .

$- \frac{- 2 t^{3} + 6 t^{2} - 14 t + 4 + 8 t}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.4

Добавим $- 14 t$ и $8 t$ .

$- \frac{- 2 t^{3} + 6 t^{2} - 6 t + 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 t^{3} + 6 t^{2} - 6 t + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 t^{3}$ .

$- \frac{2 (- t^{3}) + 6 t^{2} - 6 t + 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.2

Вынесем множитель $2$ из $6 t^{2}$ .

$- \frac{2 (- t^{3}) + 2 (3 t^{2}) - 6 t + 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6 t$ .

$- \frac{2 (- t^{3}) + 2 (3 t^{2}) + 2 (- 3 t) + 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.4

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{2 (- t^{3}) + 2 (3 t^{2}) + 2 (- 3 t) + 2 (2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- t^{3}) + 2 (3 t^{2})$ .

$- \frac{2 (- t^{3} + 3 t^{2}) + 2 (- 3 t) + 2 (2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (- t^{3} + 3 t^{2}) + 2 (- 3 t)$ .

$- \frac{2 (- t^{3} + 3 t^{2} - 3 t) + 2 (2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (- t^{3} + 3 t^{2} - 3 t) + 2 (2)$ .

$- \frac{2 (- t^{3} + 3 t^{2} - 3 t + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- t^{3}$ .

$- \frac{2 (- (t^{3}) + 3 t^{2} - 3 t + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.6

Вынесем множитель $- 1$ из $3 t^{2}$ .

$- \frac{2 (- (t^{3}) - (- 3 t^{2}) - 3 t + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t^{3}) - (- 3 t^{2})$ .

$- \frac{2 (- (t^{3} - 3 t^{2}) - 3 t + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 t$ .

$- \frac{2 (- (t^{3} - 3 t^{2}) - (3 t) + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t^{3} - 3 t^{2}) - (3 t)$ .

$- \frac{2 (- (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.10

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{2 (- (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) - 1 (- 2))}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) - 1 (- 2)$ .

$- \frac{2 (- (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2))}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.12

Перепишем $- (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)$ в виде $- 1 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)$ .

$- \frac{2 (- 1 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2))}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.15

Умножим $\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (t) = \frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2}{{(- t + 1)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2}{{(- t + 1)}^{3}}]$

Этап 3.2

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2] - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{({(- t + 1)}^{3})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(- t + 1)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2] - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2] - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3 t^{2}$ по $t$ равна $- 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 3 (2 t) + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.6

Умножим $2$ на $- 3$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.7

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.9

Умножим $3$ на $1$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3 + 0) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.11

Добавим $3 t^{2} - 6 t + 3$ и $0$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- t + 1$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- t + 1$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (3 {(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) ({(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель ${(- t + 1)}^{2}$ из ${(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) ({(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель ${(- t + 1)}^{2}$ из ${(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3)$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3)) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) ({(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель ${(- t + 1)}^{2}$ из $- 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) ({(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3)) + {(- t + 1)}^{2} (- 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель ${(- t + 1)}^{2}$ из ${(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3)) + {(- t + 1)}^{2} (- 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{6}}$

Этап 3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель ${(- t + 1)}^{2}$ из ${(- t + 1)}^{6}$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{2} {(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{2} {(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $- t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (- \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (- 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.11

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (- 1 + 0)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Добавим $- 1$ и $0$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \cdot - 1}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.12.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) + 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.12.3

Объединим $2$ и $\frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) + 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) + 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2))}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) + 3 t^{3} + 3 (- 3 t^{2}) + 3 (3 t) + 3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3)) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.1

Развернем $(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{2 (- t (3 t^{2}) - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (- 1 \cdot 3 t \cdot t^{2} - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.2.2.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 3 (t^{2} t) - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.2.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.2.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 3 (t^{2} t^{1}) - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (- 1 \cdot 3 t^{2 + 1} - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 3 t^{3} - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (- 3 t^{3} - 1 \cdot - 6 t \cdot t - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.5

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.2.5.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} - 1 \cdot - 6 (t \cdot t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.5.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} - 1 \cdot - 6 t^{2} - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.6

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 6 t^{2} - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 6 t^{2} - 3 t + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.8

Умножим $3 t^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 6 t^{2} - 3 t + 3 t^{2} + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.9

Умножим $- 6 t$ на $1$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 6 t^{2} - 3 t + 3 t^{2} - 6 t + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.2.10

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 6 t^{2} - 3 t + 3 t^{2} - 6 t + 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.3

Добавим $6 t^{2}$ и $3 t^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 9 t^{2} - 3 t - 6 t + 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.4

Вычтем $6 t$ из $- 3 t$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 9 t^{2} - 9 t + 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- 3 t^{3}) + 2 (9 t^{2}) + 2 (- 9 t) + 2 \cdot 3 + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.6.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 2 (9 t^{2}) + 2 (- 9 t) + 2 \cdot 3 + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.6.2

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} + 2 (- 9 t) + 2 \cdot 3 + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.6.3

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 2 \cdot 3 + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.6.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.7

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.8

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} + 2 (- 9 t^{2}) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.9

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.10

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 2 (9 t) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.11

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 18 t + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.12

Умножим $2 (3 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.12.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 18 t + 2 \cdot - 6}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.1.12.2

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 18 t - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.2

Объединим противоположные члены в $- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 18 t - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.2.1

Добавим $- 6 t^{3}$ и $6 t^{3}$ .

$\frac{18 t^{2} - 18 t + 6 + 0 - 18 t^{2} + 18 t - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.2.2

Добавим $18 t^{2} - 18 t + 6$ и $0$ .

$\frac{18 t^{2} - 18 t + 6 - 18 t^{2} + 18 t - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.2.3

Вычтем $18 t^{2}$ из $18 t^{2}$ .

$\frac{- 18 t + 6 + 0 + 18 t - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.2.4

Добавим $- 18 t + 6$ и $0$ .

$\frac{- 18 t + 6 + 18 t - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.2.5

Добавим $- 18 t$ и $18 t$ .

$\frac{0 + 6 - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.2.6

Добавим $0$ и $6$ .

$\frac{6 - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.3.3

Вычтем $12$ из $6$ .

$\frac{- 6}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 3.13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (t) = - \frac{6}{{(- t + 1)}^{4}}$

Этап 4

Третья производная $f (t)$ по $t$ равна $- \frac{6}{{(- t + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{6}{{(- t + 1)}^{4}}$