Математический анализ Примеры

$v (r) = k (26 r^{2} - r^{3})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $k$ является константой относительно $r$ , производная $k (26 r^{2} - r^{3})$ по $r$ равна $k \frac{d}{d r} [26 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [26 r^{2} - r^{3}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $26 r^{2} - r^{3}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [26 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [26 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 1.3

Поскольку $26$ является константой относительно $r$ , производная $26 r^{2}$ по $r$ равна $26 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (26 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$k (26 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $26$ .

$k (52 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 1.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $r$ , производная $- r^{3}$ по $r$ равна $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (52 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Этап 1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$k (52 r - (3 r^{2}))$

Этап 1.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$k (52 r - 3 r^{2})$

Этап 1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k (52 r) + k (- 3 r^{2})$

Этап 1.9.2

Перенесем $52$ влево от $k$ .

$52 k r + k (- 3 r^{2})$

Этап 1.9.3

Изменим порядок членов.

$f' (r) = 52 k r - 3 r^{2} k$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $52 k r - 3 r^{2} k$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [52 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

$\frac{d}{d r} [52 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d r} [52 k r]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $52 k$ является константой относительно $r$ , производная $52 k r$ по $r$ равна $52 k \frac{d}{d r} [r]$ .

$52 k \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$52 k \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Этап 2.2.3

Умножим $52$ на $1$ .

$52 k + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3 k$ является константой относительно $r$ , производная $- 3 r^{2} k$ по $r$ равна $- 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$52 k - 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$52 k - 3 k (2 r)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$52 k - 6 k r$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$f'' (r) = - 6 k r + 52 k$

Этап 3

Вторая производная $v (r)$ по $r$ равна $- 6 k r + 52 k$ .

$- 6 k r + 52 k$