Математический анализ Примеры

$f (t) = \frac{7 \ln (t)}{t}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{7 \ln (t)}{t}$ по $t$ равна $7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = t$ .

$7 \frac{t \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 1.3

Производная $\ln (t)$ по $t$ равна $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{t \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$7 \frac{1 - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t) \cdot 1}{t^{2}}$

Этап 1.4.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$

Этап 1.4.4.2

Объединим $7$ и $\frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$ .

$\frac{7 (1 - \ln (t))}{t^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 \cdot 1 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Этап 1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{7 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Умножим $7 (- \ln (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{7 - 7 \ln (t)}{t^{2}}$

Этап 1.5.2.2.2

Упростим $- 7 \ln (t)$ путем переноса $7$ под логарифм.

$f' (t) = \frac{7 - \ln (t^{7})}{t^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $7 - \ln (t^{7})$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $7$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- \ln (t^{7})$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = t^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $t^{2}$ и $\frac{1}{t^{7}}$ .

$\frac{- \frac{t^{2}}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $t^{2}$ и $t^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{7}$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} (7 t^{6}) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{- 7 \frac{1}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.2

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{- 7}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.3

Объединим $\frac{- 7}{t^{5}}$ и $t^{6}$ .

$\frac{\frac{- 7 t^{6}}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.4

Сократим общий множитель $t^{6}$ и $t^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.4.1

Вынесем множитель $t^{5}$ из $- 7 t^{6}$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.4.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- 7 t}{1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.4.2.4

Разделим $- 7 t$ на $1$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 2.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) (2 t)}{t^{4}}$

Этап 2.4.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Этап 2.4.6.2

Вынесем множитель $t$ из $- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1

Вынесем множитель $t$ из $- 7 t$ .

$\frac{t \cdot - 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Этап 2.4.6.2.2

Вынесем множитель $t$ из $- 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

$\frac{t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Этап 2.4.6.2.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Этап 2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{4}$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Этап 2.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 7 - 2 \cdot 7 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Этап 2.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Умножим $- 2$ на $7$ .

$\frac{- 7 - 14 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Этап 2.6.2.1.2

Умножим $- 2 (- \ln (t^{7}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 7 - 14 + 2 \ln (t^{7})}{t^{3}}$

Этап 2.6.2.1.2.2

Упростим $2 \ln (t^{7})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{- 7 - 14 + \ln ({(t^{7})}^{2})}{t^{3}}$

Этап 2.6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{7})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{7 \cdot 2})}{t^{3}}$

Этап 2.6.2.1.3.2

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Этап 2.6.2.2

Вычтем $14$ из $- 7$ .

$\frac{- 21 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Этап 2.6.3

Перепишем $- 21$ в виде $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Этап 2.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (t^{14})$ .

$\frac{- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Этап 2.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))$ .

$\frac{- 1 (21 - \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Этап 2.6.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (t) = - \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Этап 3

Вторая производная $f (t)$ по $t$ равна $- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$ .

$- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$