Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x} \sin (x) - 3 e^{x} \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $e^{x} \sin (x) - 3 e^{x} \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 e^{x} \cos (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Этап 1.3.2

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.3.4

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} (- \sin (x))) - 3 (\cos (x) e^{x})$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} + 3 (e^{x} (\sin (x))) - 3 (\cos (x) e^{x})$

Этап 1.4.2.2

Добавим $\sin (x) e^{x}$ и $3 e^{x} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) + 3 e^{x} \sin (x) - 3 \cos (x) e^{x}$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $e^{x} \sin (x)$ и $3 e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x) - 3 \cos (x) e^{x}$

Этап 1.4.2.3

Вычтем $3 \cos (x) e^{x}$ из $e^{x} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Перенесем $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) - 3 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$

Этап 1.4.2.3.2

Вычтем $3 e^{x} \cos (x)$ из $e^{x} \cos (x)$ .

$f' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{x} \cos (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Этап 2.2.2

$- 2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Этап 2.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Этап 2.2.4

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{x} \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Этап 2.3.2

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.3.4

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (e^{x} (- \sin (x))) - 2 (\cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (e^{x} (- \sin (x))) - 2 (\cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) e^{x})$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 (e^{x} (\sin (x))) - 2 (\cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) e^{x})$

Этап 2.4.3.2

Добавим $- 2 \cos (x) e^{x}$ и $4 e^{x} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Перенесем $\cos (x)$ .

$2 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \cos (x) + 4 \sin (x) e^{x}$

Этап 2.4.3.2.2

Добавим $- 2 e^{x} \cos (x)$ и $4 e^{x} \cos (x)$ .

$2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x) + 4 \sin (x) e^{x}$

Этап 2.4.3.3

Добавим $2 e^{x} \sin (x)$ и $4 \sin (x) e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$2 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Этап 2.4.3.3.2

Добавим $2 e^{x} \sin (x)$ и $4 e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ .

$6 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$