Математический анализ Примеры

$f (r) = r {(4 r + 9)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ имеет вид $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , где $f (r) = r$ и $g (r) = {(4 r + 9)}^{3}$ .

$r \frac{d}{d r} [{(4 r + 9)}^{3}] + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ имеет вид $f' (g (r)) g' (r)$ , где $f (r) = r^{3}$ и $g (r) = 4 r + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 r + 9$ .

$r (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$r (3 u^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 r + 9$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $4 r + 9$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $r$ , производная $4 r$ по $r$ равна $4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.3.5

Поскольку $9$ является константой относительно $r$ , производная $9$ относительно $r$ равна $0$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + 0)) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \cdot 4) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.3.6.2

Умножим $4$ на $3$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \cdot 1$

Этап 1.3.8

Умножим ${(4 r + 9)}^{3}$ на $1$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель ${(4 r + 9)}^{2}$ из $r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель ${(4 r + 9)}^{2}$ из $r (12 {(4 r + 9)}^{2})$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{3}$

Этап 1.4.1.2

Вынесем множитель ${(4 r + 9)}^{2}$ из ${(4 r + 9)}^{3}$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$

Этап 1.4.1.3

Вынесем множитель ${(4 r + 9)}^{2}$ из ${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12) + 4 r + 9)$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем $12$ влево от $r$ .

${(4 r + 9)}^{2} (12 \cdot r + 4 r + 9)$

Этап 1.4.2.2

Добавим $12 r$ и $4 r$ .

$f' (r) = {(4 r + 9)}^{2} (16 r + 9)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(4 r + 9)}^{2}$ в виде $(4 r + 9) (4 r + 9)$ .

$\frac{d}{d r} [(4 r + 9) (4 r + 9) (16 r + 9)]$

Этап 2.2

Развернем $(4 r + 9) (4 r + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r + 9) + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r \cdot r + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $r$ .

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 (r \cdot r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Этап 2.3.1.4

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Этап 2.3.1.6

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 81) (16 r + 9)]$

Этап 2.3.2

Добавим $36 r$ и $36 r$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 r + 9)]$

Этап 2.4

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \frac{d}{d r} [16 r + 9] + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $16 r + 9$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Этап 2.5.2

Поскольку $16$ является константой относительно $r$ , производная $16 r$ по $r$ равна $16 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Этап 2.5.4

Умножим $16$ на $1$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Этап 2.5.5

Поскольку $9$ является константой относительно $r$ , производная $9$ относительно $r$ равна $0$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + 0) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Этап 2.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Добавим $16$ и $0$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \cdot 16 + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Этап 2.5.6.2

Перенесем $16$ влево от $16 r^{2} + 72 r + 81$ .

$16 \cdot (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Этап 2.5.7

По правилу суммы производная $16 r^{2} + 72 r + 81$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Этап 2.5.8

Поскольку $16$ является константой относительно $r$ , производная $16 r^{2}$ по $r$ равна $16 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Этап 2.5.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 (2 r) + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Этап 2.5.10

Умножим $2$ на $16$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Этап 2.5.11

Поскольку $72$ является константой относительно $r$ , производная $72 r$ по $r$ равна $72 \frac{d}{d r} [r]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [81])$

Этап 2.5.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [81])$

Этап 2.5.13

Умножим $72$ на $1$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + \frac{d}{d r} [81])$

Этап 2.5.14

Поскольку $81$ является константой относительно $r$ , производная $81$ относительно $r$ равна $0$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + 0)$

Этап 2.5.15

Добавим $32 r + 72$ и $0$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r + 72)$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

Этап 2.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Умножим $16$ на $16$ .

$256 r^{2} + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5.2

Умножим $72$ на $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5.3

Умножим $16$ на $81$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5.4

Умножим $32$ на $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r \cdot r + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5.5

Возведем $r$ в степень $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5.6

Возведем $r$ в степень $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r^{1}) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{1 + 1} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5.8

Добавим $1$ и $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5.9

Умножим $32$ на $9$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5.10

Умножим $72$ на $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 9 \cdot 72$

Этап 2.6.5.11

Умножим $9$ на $72$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 648$

Этап 2.6.5.12

Добавим $288 r$ и $1152 r$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 1440 r + 648$

Этап 2.6.5.13

Добавим $256 r^{2}$ и $512 r^{2}$ .

$768 r^{2} + 1152 r + 1296 + 1440 r + 648$

Этап 2.6.5.14

Добавим $1152 r$ и $1440 r$ .

$768 r^{2} + 2592 r + 1296 + 648$

Этап 2.6.5.15

Добавим $1296$ и $648$ .

$f'' (r) = 768 r^{2} + 2592 r + 1944$

Этап 3

Вторая производная $f (r)$ по $r$ равна $768 r^{2} + 2592 r + 1944$ .

$768 r^{2} + 2592 r + 1944$