Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x^{3} - 1)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 1$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2} + 0)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2})$

Этап 1.2.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$9 {(x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $9 {(x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = 9 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x^{3} - 1)}^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 1)}^{2}] + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 1$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 1$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2})) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$9 (x^{2} (6 (x^{3} - 1) x^{2}) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{2} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 (x^{2 + 2} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} (2 x))$

Этап 2.7

Перенесем $2$ влево от ${(x^{3} - 1)}^{2}$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + 2 \cdot {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (x^{4} (6 x^{3} + 6 \cdot - 1) + 2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (x^{4} (6 x^{3}) + x^{4} (6 \cdot - 1) + 2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (x^{4} (6 x^{3})) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$9 (x^{3} x^{4} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 (x^{3 + 4} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.4.1.3

Добавим $3$ и $4$ .

$9 (x^{7} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.4.2

Перенесем $6$ влево от $x^{7}$ .

$9 (6 \cdot x^{7}) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.4.3

Умножим $6$ на $9$ .

$54 x^{7} + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.4.4

Умножим $6$ на $- 1$ .

$54 x^{7} + 9 (x^{4} \cdot - 6) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.4.5

Перенесем $- 6$ влево от $x^{4}$ .

$54 x^{7} + 9 (- 6 \cdot x^{4}) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.4.6

Умножим $- 6$ на $9$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Этап 2.8.4.7

Умножим $2$ на $9$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 {(x^{3} - 1)}^{2} x$

Этап 2.8.5

Изменим порядок членов.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x {(x^{3} - 1)}^{2}$

Этап 2.8.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

Перепишем ${(x^{3} - 1)}^{2}$ в виде $(x^{3} - 1) (x^{3} - 1)$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x ((x^{3} - 1) (x^{3} - 1))$

Этап 2.8.6.2

Развернем $(x^{3} - 1) (x^{3} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} (x^{3} - 1) - 1 (x^{3} - 1))$

Этап 2.8.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 (x^{3} - 1))$

Этап 2.8.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.8.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.3.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3 + 3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.8.6.3.1.1.2

Добавим $3$ и $3$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.8.6.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - 1 \cdot x^{3} - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.8.6.3.1.3

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.8.6.3.1.4

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.8.6.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - x^{3} + 1)$

Этап 2.8.6.3.2

Вычтем $x^{3}$ из $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - 2 x^{3} + 1)$

Этап 2.8.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x \cdot x^{6} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Этап 2.8.6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.5.1

Умножим $x$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.5.1.1

Перенесем $x^{6}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 (x^{6} x) + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Этап 2.8.6.5.1.2

Умножим $x^{6}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 (x^{6} x^{1}) + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Этап 2.8.6.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{6 + 1} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Этап 2.8.6.5.1.3

Добавим $6$ и $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Этап 2.8.6.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x \cdot x^{3} + 18 x \cdot 1$

Этап 2.8.6.5.3

Умножим $18$ на $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x \cdot x^{3} + 18 x$

Этап 2.8.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.6.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.6.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 (x^{3} x) + 18 x$

Этап 2.8.6.6.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 (x^{3} x^{1}) + 18 x$

Этап 2.8.6.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x^{3 + 1} + 18 x$

Этап 2.8.6.6.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x^{4} + 18 x$

Этап 2.8.6.6.2

Умножим $18$ на $- 2$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} - 36 x^{4} + 18 x$

Этап 2.8.7

Добавим $54 x^{7}$ и $18 x^{7}$ .

$72 x^{7} - 54 x^{4} - 36 x^{4} + 18 x$

Этап 2.8.8

Вычтем $36 x^{4}$ из $- 54 x^{4}$ .

$f'' (x) = 72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$ .

$72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$