Математический анализ Примеры

$y = 3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 3 \sin (x) + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Этап 1.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Этап 1.3.6

Умножим $4$ на $1$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 {(x + 2)}^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.2.3

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.2.8

Умножим $3$ на $4$ .

$12 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \sin (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$12 {(x + 2)}^{2} - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 2)}^{2} - 3 \cos (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [12 ((x + 2) (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Этап 3.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [12 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Этап 3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Этап 3.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 3 \cos (x)]$

Этап 3.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 (x^{2} + 4 x + 4)$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Этап 3.5.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$12 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Этап 3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Этап 3.5.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Этап 3.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Этап 3.5.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Этап 3.5.7

Умножим $4$ на $1$ .

$12 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Этап 3.5.8

Добавим $2 x + 4$ и $0$ .

$12 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \cos (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$12 (2 x + 4) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.6.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$12 (2 x + 4) - 3 (- \sin (x))$

Этап 3.6.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$12 (2 x + 4) + 3 \sin (x)$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (2 x) + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

Этап 3.7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Умножим $2$ на $12$ .

$24 x + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

Этап 3.7.2.2

Умножим $12$ на $4$ .

$f''' (x) = 24 x + 48 + 3 \sin (x)$