Математический анализ Примеры

$y = \frac{3}{2 + x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{2 + x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 + x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 + x}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{2 + x}$ в виде ${(2 + x)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{- 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 + x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 + x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 + x])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 + x$ .

$3 (- {(2 + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 + x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 ({(2 + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 + x])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(2 + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 {(2 + x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(2 + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 {(2 + x)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 1.3.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 {(2 + x)}^{- 2}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{{(2 + x)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{3}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{{(2 + x)}^{2}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 + x)}^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 + x)}^{2}}]$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(2 + x)}^{2}}$ в виде ${({(2 + x)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(2 + x)}^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(2 + x)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{- 2}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 + x$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [2 + x])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [2 + x])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 + x$ .

$- 3 (- 2 {(2 + x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 + x])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$6 ({(2 + x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 + x])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 + x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 {(2 + x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 + x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 {(2 + x)}^{- 3} \cdot 1$

Этап 2.3.6

Умножим $6$ на $1$ .

$6 {(2 + x)}^{- 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(2 + x)}^{3}}$

Этап 2.4.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{{(2 + x)}^{3}}$ .

$\frac{6}{{(2 + x)}^{3}}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{6}{{(x + 2)}^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6}{{(x + 2)}^{3}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{3}}]$

Этап 3.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$ в виде ${({(x + 2)}^{3})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{({(x + 2)}^{3})}^{- 1}]$

Этап 3.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3 \cdot - 1}]$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{- 3}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$6 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$6 (- 3 {(x + 2)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 3$ на $6$ .

$- 18 ({(x + 2)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 18 {(x + 2)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 18 {(x + 2)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 18 {(x + 2)}^{- 4} (1 + 0)$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 18 {(x + 2)}^{- 4} \cdot 1$

Этап 3.3.5.2

Умножим $- 18$ на $1$ .

$- 18 {(x + 2)}^{- 4}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{{(x + 2)}^{4}}$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $- 18$ и $\frac{1}{{(x + 2)}^{4}}$ .

$\frac{- 18}{{(x + 2)}^{4}}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{18}{{(x + 2)}^{4}}$