Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{2} + \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 - x^{- 2}$

Этап 2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$