Математический анализ Примеры

$y = \frac{\cos (x)}{e^{x}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 1.5.1.2

Изменим порядок множителей в $- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Этап 1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Этап 1.5.2.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))}{e^{2 x}}$

Этап 1.5.2.1.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x) - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

Этап 1.5.2.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{e^{2 x}}$

Этап 1.5.2.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

$\frac{e^{x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

Этап 1.5.2.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{1}$

Этап 1.5.3.2.4

Разделим $- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$ на $1$ .

$- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$

Этап 1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x} \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$- (e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.2.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x} \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Этап 2.3.2

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 2.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 2.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 2.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Этап 2.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Этап 2.3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Этап 2.3.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + 1 (\sin (x) (e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Этап 2.4.3.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Этап 2.4.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + 1 (e^{- x} (\sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Этап 2.4.3.4

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Этап 2.4.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + 1 (\cos (x) (e^{- x}))$

Этап 2.4.3.6

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Этап 2.4.3.7

Добавим $\sin (x) e^{- x}$ и $e^{- x} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.7.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $e^{- x}$ .

$- e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Этап 2.4.3.7.2

Добавим $e^{- x} \sin (x)$ и $e^{- x} \sin (x)$ .

$- e^{- x} \cos (x) + 2 e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Этап 2.4.3.8

Добавим $- e^{- x} \cos (x)$ и $\cos (x) e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.8.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \cos (x)$

Этап 2.4.3.8.2

Добавим $- e^{- x} \cos (x)$ и $e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} \sin (x) + 0$

Этап 2.4.3.9

Добавим $2 e^{- x} \sin (x)$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{- x} \sin (x)$