Математический анализ Примеры

$y = \cot (9 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 1.1.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x$ .

$- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 9 \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 9 \csc^{2} (9 x) \cdot 1$

Этап 1.2.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$f' (x) = - 9 \csc^{2} (9 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 \csc^{2} (9 x)$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (9 x)$ .

$- 9 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (9 x)$ .

$- 9 (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$- 18 (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $9 x$ .

$- 18 \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.4.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $9 x$ .

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$18 \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.6

Возведем $\csc (9 x)$ в степень $1$ .

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.7

Возведем $\csc (9 x)$ в степень $1$ .

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$18 {\csc (9 x)}^{1 + 1} (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$18 \csc^{2} (9 x) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.10

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.11

Умножим $9$ на $18$ .

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \cdot 1$

Этап 2.13

Умножим $162$ на $1$ .

$f'' (x) = 162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)$