Математический анализ Примеры

$y = 7 x \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x \ln (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 1.4.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Этап 1.5.2

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 7 \ln (x) + 7$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 \ln (x) + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \ln (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$7 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.2.3

Объединим $7$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{7}{x} + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{7}{x} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{7}{x}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x}$