Математический анализ Примеры

$y = 2 \sec (5 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec (5 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.2.2

Производная $\sec (u)$ по $u$ равна $\sec (u) \tan (u)$ .

$2 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$2 (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Умножим $5$ на $2$ .

$10 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 \sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 1$

Этап 1.3.4

Умножим $10$ на $1$ .

$f' (x) = 10 \sec (5 x) \tan (5 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 \sec (5 x) \tan (5 x)$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\sec (5 x) \tan (5 x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (5 x) \tan (5 x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (5 x)$ и $g (x) = \tan (5 x)$ .

$10 (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$10 (\sec (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$10 (\sec (5 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$10 (\sec (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.4

Возведем $\sec (5 x)$ в степень $1$ .

$10 (\sec^{2} (5 x) \sec^{1} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 ({\sec (5 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2$ и $1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.6.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) (5 \cdot 1) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Умножим $5$ на $1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) \cdot 5 + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.6.4.2

Перенесем $5$ влево от $\sec^{3} (5 x)$ .

$10 (5 \cdot \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Этап 2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 2.7.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 2.8

Возведем $\tan (5 x)$ в степень $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{1} (5 x) \tan (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 2.9

Возведем $\tan (5 x)$ в степень $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{1} (5 x) \tan^{1} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + {\tan (5 x)}^{1 + 1} (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 2.11

Добавим $1$ и $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 2.12

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 2.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Умножим $5$ на $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) \cdot 5)$

Этап 2.14.2

Перенесем $5$ влево от $\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + 5 \cdot (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)))$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (5 \sec^{3} (5 x)) + 10 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x))$

Этап 2.15.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1

Умножим $5$ на $10$ .

$50 \sec^{3} (5 x) + 10 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x))$

Этап 2.15.2.2

Умножим $5$ на $10$ .

$50 \sec^{3} (5 x) + 50 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$

Этап 2.15.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 50 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 50 \sec^{3} (5 x)$