Математический анализ Примеры

$f (θ) = \sec^{2} (2 θ)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \sec (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (2 θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (2 θ)$ .

$2 \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Этап 1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 θ$ .

$2 \sec (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 1.2.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (2 θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 θ$ .

$2 \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 1.3

Возведем $\sec (2 θ)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 θ) \sec (2 θ)) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 1.4

Возведем $\sec (2 θ)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 θ) \sec^{1} (2 θ)) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sec (2 θ)}^{1 + 1} (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sec^{2} (2 θ) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 1.7

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 θ$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])$

Этап 1.8

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) \cdot 1$

Этап 1.10

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (θ) = 4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $θ$ , производная $4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)$ по $θ$ равна $4 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)]$ .

$4 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \sec^{2} (2 θ)$ и $g (θ) = \tan (2 θ)$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [\tan (2 θ)] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 θ$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 θ$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.4

Умножим $\sec^{2} (2 θ)$ на $\sec^{2} (2 θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $\sec^{2} (2 θ)$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 ({\sec (2 θ)}^{2 + 2} \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 θ$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) (2 \cdot 1) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) \cdot 2 + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.5.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{4} (2 θ)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Этап 2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sec (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (2 u_{2} \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (2 \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Этап 2.7

Перенесем $2$ влево от $\tan (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \cdot \tan (2 θ) \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)])$

Этап 2.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 θ$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Этап 2.8.2

Производная $\sec (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Этап 2.8.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 θ$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Этап 2.9

Возведем $\tan (2 θ)$ в степень $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 (\tan^{1} (2 θ) \tan (2 θ)) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Этап 2.10

Возведем $\tan (2 θ)$ в степень $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 (\tan^{1} (2 θ) \tan^{1} (2 θ)) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 {\tan (2 θ)}^{1 + 1} \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Этап 2.13

Возведем $\sec (2 θ)$ в степень $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) (\sec^{1} (2 θ) \sec (2 θ)) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 2.14

Возведем $\sec (2 θ)$ в степень $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) (\sec^{1} (2 θ) \sec^{1} (2 θ)) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 2.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) {\sec (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 2.16

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Этап 2.17

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 θ$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ]))$

Этап 2.18

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Этап 2.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \cdot 1)$

Этап 2.20

Умножим $4$ на $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Этап 2.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ)) + 4 (4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Этап 2.21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 \sec^{4} (2 θ) + 4 (4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Этап 2.21.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$8 \sec^{4} (2 θ) + 16 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ)$

Этап 2.21.3

Изменим порядок членов.

$f'' (θ) = 16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$

Этап 3

Вторая производная $f (θ)$ по $θ$ равна $16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$ .

$16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$