Математический анализ Примеры

$y = 7 x^{2} + 2 x - e^{4 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $7 x^{2} + 2 x - e^{4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$14 x + 2 + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{4 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$14 x + 2 - \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$14 x + 2 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$14 x + 2 - (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.4.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Этап 1.4.5

Умножим $4$ на $1$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} \cdot 4)$

Этап 1.4.6

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$14 x + 2 - (4 \cdot e^{4 x})$

Этап 1.4.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = 14 x + 2 - 4 e^{4 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $14 x + 2 - 4 e^{4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Этап 2.2.3

Умножим $14$ на $1$ .

$14 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$14 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 e^{4 x}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$14 + 0 - 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Этап 2.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$14 + 0 - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.4.2.2

$14 + 0 - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.4.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Этап 2.4.5

Умножим $4$ на $1$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} \cdot 4)$

Этап 2.4.6

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$14 + 0 - 4 (4 \cdot e^{4 x})$

Этап 2.4.7

Умножим $4$ на $- 4$ .

$14 + 0 - 16 e^{4 x}$

Этап 2.5

Добавим $14$ и $0$ .

$f'' (x) = 14 - 16 e^{4 x}$