Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{4} \tan (2 x + 1)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} \cdot \tan (2 x + 1)$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 1.2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\sec^{2} (2 x + 1)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + 0)$

Этап 1.3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \cdot 2$

Этап 1.3.7.2

Объединим $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4}$ и $2$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1) \cdot 2}{4}$

Этап 1.3.7.3

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec^{2} (2 x + 1)}{4}$

Этап 1.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 (\sec^{2} (2 x + 1))}{4}$

Этап 1.3.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (2 \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Этап 2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Этап 2.3.2

Объединим $\sec (2 x + 1)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x + 1) \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Этап 2.3.3

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Этап 2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Этап 2.3.4.2

Разделим $\sec (2 x + 1)$ на $1$ .

$\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.4.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.5

Возведем $\sec (2 x + 1)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.6

Возведем $\sec (2 x + 1)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{1} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (2 x + 1)}^{1 + 1} (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.9

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.12

Умножим $2$ на $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + 0)$

Этап 2.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \cdot 2$

Этап 2.14.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$