Математический анализ Примеры

$y = θ^{2} (8 θ + 6)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = 8 θ + 6$ .

$θ^{2} \frac{d}{d θ} [8 θ + 6] + (8 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $8 θ + 6$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [8 θ] + \frac{d}{d θ} [6]$ .

$θ^{2} (\frac{d}{d θ} [8 θ] + \frac{d}{d θ} [6]) + (8 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $8$ является константой относительно $θ$ , производная $8 θ$ по $θ$ равна $8 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$θ^{2} (8 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [6]) + (8 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$θ^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [6]) + (8 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Этап 1.2.4

Умножим $8$ на $1$ .

$θ^{2} (8 + \frac{d}{d θ} [6]) + (8 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Этап 1.2.5

Поскольку $6$ является константой относительно $θ$ , производная $6$ относительно $θ$ равна $0$ .

$θ^{2} (8 + 0) + (8 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $8$ и $0$ .

$θ^{2} \cdot 8 + (8 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $8$ влево от $θ^{2}$ .

$8 \cdot θ^{2} + (8 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 θ^{2} + (8 θ + 6) (2 θ)$

Этап 1.2.8

Перенесем $2$ влево от $8 θ + 6$ .

$8 θ^{2} + 2 \cdot (8 θ + 6) θ$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 θ^{2} + (2 (8 θ) + 2 \cdot 6) θ$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 θ^{2} + 2 (8 θ) θ + 2 \cdot 6 θ$

Этап 1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $8$ на $2$ .

$8 θ^{2} + 16 θ \cdot θ + 2 \cdot 6 θ$

Этап 1.3.3.2

Возведем $θ$ в степень $1$ .

$8 θ^{2} + 16 (θ^{1} θ) + 2 \cdot 6 θ$

Этап 1.3.3.3

Возведем $θ$ в степень $1$ .

$8 θ^{2} + 16 (θ^{1} θ^{1}) + 2 \cdot 6 θ$

Этап 1.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 θ^{2} + 16 θ^{1 + 1} + 2 \cdot 6 θ$

Этап 1.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$8 θ^{2} + 16 θ^{2} + 2 \cdot 6 θ$

Этап 1.3.3.6

Умножим $2$ на $6$ .

$8 θ^{2} + 16 θ^{2} + 12 θ$

Этап 1.3.3.7

Добавим $8 θ^{2}$ и $16 θ^{2}$ .

$f' (θ) = 24 θ^{2} + 12 θ$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $24 θ^{2} + 12 θ$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [12 θ]$ .

$\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [12 θ]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $θ$ , производная $24 θ^{2}$ по $θ$ равна $24 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ .

$24 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [12 θ]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [12 θ]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $24$ .

$48 θ + \frac{d}{d θ} [12 θ]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [12 θ]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $θ$ , производная $12 θ$ по $θ$ равна $12 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$48 θ + 12 \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$48 θ + 12 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f'' (θ) = 48 θ + 12$