Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{4} \cot (2 x - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} \cdot \cot (2 x - 1)$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cot (2 x - 1)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cot (2 x - 1)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 1.2.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 1$ .

$\frac{1}{4} (- \csc^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\csc^{2} (2 x - 1)$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 + 0)$

Этап 1.3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} \cdot 2$

Этап 1.3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4}$

Этап 1.3.7.3

Объединим $- 2$ и $\frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4}$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (2 x - 1)}{4}$

Этап 1.3.7.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \csc^{2} (2 x - 1)$ .

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x - 1))}{4}$

Этап 1.3.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x - 1))}{2 (2)}$

Этап 1.3.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x - 1))}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \csc^{2} (2 x - 1)}{2}$

Этап 1.3.7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (2 x - 1)]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (2 x - 1)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (2 x - 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (2 x - 1)$ .

$- \frac{1}{2} (2 \csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Этап 2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) (\csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Этап 2.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} (\csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Этап 2.3.3

Объединим $\csc (2 x - 1)$ и $\frac{- 2}{2}$ .

$\frac{\csc (2 x - 1) \cdot - 2}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Этап 2.3.4

Перенесем $- 2$ влево от $\csc (2 x - 1)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (2 x - 1)}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Этап 2.3.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \csc (2 x - 1)$ .

$\frac{2 (- \csc (2 x - 1))}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Этап 2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- \csc (2 x - 1))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \csc (2 x - 1))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Этап 2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \csc (2 x - 1)}{1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Этап 2.3.5.2.4

Разделим $- \csc (2 x - 1)$ на $1$ .

$- \csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x - 1$ .

$- \csc (2 x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 2.4.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \csc (2 x - 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x - 1$ .

$- \csc (2 x - 1) (- \csc (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 2.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \csc (2 x - 1) (\csc (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 2.5.2

Умножим $\csc (2 x - 1)$ на $1$ .

$\csc (2 x - 1) (\csc (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 2.6

Возведем $\csc (2 x - 1)$ в степень $1$ .

$\csc^{1} (2 x - 1) \csc (2 x - 1) (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 2.7

Возведем $\csc (2 x - 1)$ в степень $1$ .

$\csc^{1} (2 x - 1) \csc^{1} (2 x - 1) (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\csc (2 x - 1)}^{1 + 1} (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $1$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.14

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 + 0)$

Этап 2.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \cdot 2$

Этап 2.15.2

Перенесем $2$ влево от $\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1)$