Математический анализ Примеры

$y = {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ и $g (x) = x^{6} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{6} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{6} - x$ .

$\frac{3}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.5.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$\frac{3}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{- 1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} {(x^{6} - x)}^{- \frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.6.2

Объединим $\frac{3}{4}$ и ${(x^{6} - x)}^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{3 {(x^{6} - x)}^{- \frac{1}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.6.3

Перенесем ${(x^{6} - x)}^{- \frac{1}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x]$

Этап 1.7

По правилу суммы производная $x^{6} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{3}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}} (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}} (6 x^{5} - \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}} (6 x^{5} - 1 \cdot 1)$

Этап 1.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}} (6 x^{5} - 1)$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Изменим порядок множителей в $\frac{3}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}} (6 x^{5} - 1)$ .

$(6 x^{5} - 1) \frac{3}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 1.12.2

Умножим $6 x^{5} - 1$ на $\frac{3}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{(6 x^{5} - 1) \cdot 3}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 1.12.3

Перенесем $3$ влево от $6 x^{5} - 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (6 x^{5} - 1)}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{3}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 (6 x^{5} - 1)}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}}$ по $x$ равна $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{5} - 1}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{5} - 1}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 6 x^{5} - 1$ и $g (x) = {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{5} - 1] - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{({(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{5} - 1] - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{5} - 1] - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{5} - 1] - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{5} - 1] - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $6 x^{5} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} (\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{5}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} (6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} (6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.3.5

Умножим $5$ на $6$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} (30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} (30 x^{4} + 0) - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $30 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} (30 x^{4}) - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.3.7.2

Перенесем $30$ влево от ${(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 \cdot {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}]}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{6} - x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{6} - x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.8.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4} {(x^{6} - x)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.9.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и ${(x^{6} - x)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{{(x^{6} - x)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.9.3

Перенесем ${(x^{6} - x)}^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{6} - x])}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $x^{6} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x]))}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}} (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- x]))}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}} (6 x^{5} - \frac{d}{d x} [x]))}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}} (6 x^{5} - 1 \cdot 1))}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - (6 x^{5} - 1) (\frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}} (6 x^{5} - 1))}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15

Возведем $6 x^{5} - 1$ в степень $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - ({(6 x^{5} - 1)}^{1} (6 x^{5} - 1)) \frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.16

Возведем $6 x^{5} - 1$ в степень $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - ({(6 x^{5} - 1)}^{1} {(6 x^{5} - 1)}^{1}) \frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{1 + 1} \frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.18

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2} \frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.19

Объединим $\frac{1}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}$ и ${(6 x^{5} - 1)}^{2}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} - \frac{{(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.20

Чтобы записать $30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} \cdot \frac{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{{(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.21

Объединим $30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4}$ и $\frac{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} (4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}})}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{{(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{30 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} (4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}) - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.23

Умножим $4$ на $30$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{120 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}} x^{4} {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.24

Умножим ${(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}$ на ${(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.24.1

Перенесем ${(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{120 ({(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}} {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{4}}) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.24.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{120 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.24.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{120 {(x^{6} - x)}^{\frac{3 + 1}{4}} x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.24.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{120 {(x^{6} - x)}^{\frac{4}{4}} x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.24.5

Разделим $4$ на $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{120 {(x^{6} - x)}^{1} x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.25

Упростим $120 {(x^{6} - x)}^{1} x^{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.26

Перепишем $\frac{\frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде произведения.

$\frac{3}{4} (\frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.27

Умножим $\frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}}$ на $\frac{1}{{(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}} {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.28

Умножим ${(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}}$ на ${(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.28.1

Перенесем ${(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 ({(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{6} - x)}^{\frac{3}{4}})}$

Этап 2.28.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}}$

Этап 2.28.3

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}}$

Этап 2.28.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.28.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}}$

Этап 2.28.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}}$

Этап 2.28.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{2 + 3}{4}}}$

Этап 2.28.6

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.29

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2}}{4 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$ .

$\frac{3 (120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{4 (4 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}})}$

Этап 2.30

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{3 (120 (x^{6} - x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 ((120 x^{6} + 120 (- x)) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (120 x^{6} x^{4} + 120 (- x) x^{4} - {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (120 x^{6} x^{4}) + 3 (120 (- x) x^{4}) + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.1

Умножим $x^{6}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.1.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{3 (120 (x^{4} x^{6})) + 3 (120 (- x) x^{4}) + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (120 x^{4 + 6}) + 3 (120 (- x) x^{4}) + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.1.3

Добавим $4$ и $6$ .

$\frac{3 (120 x^{10}) + 3 (120 (- x) x^{4}) + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.2

Умножим $120$ на $3$ .

$\frac{360 x^{10} + 3 (120 (- x) x^{4}) + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.3

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.3.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{360 x^{10} + 3 (120 (- (x^{4} x))) + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.3.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{360 x^{10} + 3 (120 (- (x^{4} x^{1}))) + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{360 x^{10} + 3 (120 (- x^{4 + 1})) + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.3.3

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{360 x^{10} + 3 (120 (- x^{5})) + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.4

Умножим $- 1$ на $120$ .

$\frac{360 x^{10} + 3 (- 120 x^{5}) + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.5

Умножим $- 120$ на $3$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- {(6 x^{5} - 1)}^{2})}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.6

Перепишем ${(6 x^{5} - 1)}^{2}$ в виде $(6 x^{5} - 1) (6 x^{5} - 1)$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- ((6 x^{5} - 1) (6 x^{5} - 1)))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.7

Развернем $(6 x^{5} - 1) (6 x^{5} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (6 x^{5} (6 x^{5} - 1) - 1 (6 x^{5} - 1)))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (6 x^{5} (6 x^{5}) + 6 x^{5} \cdot - 1 - 1 (6 x^{5} - 1)))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (6 x^{5} (6 x^{5}) + 6 x^{5} \cdot - 1 - 1 (6 x^{5}) - 1 \cdot - 1))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.8.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (6 \cdot 6 x^{5} x^{5} + 6 x^{5} \cdot - 1 - 1 (6 x^{5}) - 1 \cdot - 1))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.8.1.2

Умножим $x^{5}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.8.1.2.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (6 \cdot 6 (x^{5} x^{5}) + 6 x^{5} \cdot - 1 - 1 (6 x^{5}) - 1 \cdot - 1))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (6 \cdot 6 x^{5 + 5} + 6 x^{5} \cdot - 1 - 1 (6 x^{5}) - 1 \cdot - 1))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.8.1.2.3

Добавим $5$ и $5$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (6 \cdot 6 x^{10} + 6 x^{5} \cdot - 1 - 1 (6 x^{5}) - 1 \cdot - 1))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.8.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (36 x^{10} + 6 x^{5} \cdot - 1 - 1 (6 x^{5}) - 1 \cdot - 1))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.8.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (36 x^{10} - 6 x^{5} - 1 (6 x^{5}) - 1 \cdot - 1))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.8.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (36 x^{10} - 6 x^{5} - 6 x^{5} - 1 \cdot - 1))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.8.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (36 x^{10} - 6 x^{5} - 6 x^{5} + 1))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.8.2

Вычтем $6 x^{5}$ из $- 6 x^{5}$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (36 x^{10} - 12 x^{5} + 1))}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- (36 x^{10}) - (- 12 x^{5}) - 1 \cdot 1)}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.10.1

Умножим $36$ на $- 1$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- 36 x^{10} - (- 12 x^{5}) - 1 \cdot 1)}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.10.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- 36 x^{10} + 12 x^{5} - 1 \cdot 1)}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.10.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- 36 x^{10} + 12 x^{5} - 1)}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} + 3 (- 36 x^{10}) + 3 (12 x^{5}) + 3 \cdot - 1}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.12.1

Умножим $- 36$ на $3$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} - 108 x^{10} + 3 (12 x^{5}) + 3 \cdot - 1}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.12.2

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} - 108 x^{10} + 36 x^{5} + 3 \cdot - 1}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.1.12.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{360 x^{10} - 360 x^{5} - 108 x^{10} + 36 x^{5} - 3}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.2

Вычтем $108 x^{10}$ из $360 x^{10}$ .

$\frac{252 x^{10} - 360 x^{5} + 36 x^{5} - 3}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.4.3

Добавим $- 360 x^{5}$ и $36 x^{5}$ .

$\frac{252 x^{10} - 324 x^{5} - 3}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.5

Вынесем множитель $3$ из $252 x^{10} - 324 x^{5} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.5.1

Вынесем множитель $3$ из $252 x^{10}$ .

$\frac{3 (84 x^{10}) - 324 x^{5} - 3}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 324 x^{5}$ .

$\frac{3 (84 x^{10}) + 3 (- 108 x^{5}) - 3}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.5.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (84 x^{10}) + 3 (- 108 x^{5}) + 3 (- 1)}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.5.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (84 x^{10}) + 3 (- 108 x^{5})$ .

$\frac{3 (84 x^{10} - 108 x^{5}) + 3 (- 1)}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.31.5.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (84 x^{10} - 108 x^{5}) + 3 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (84 x^{10} - 108 x^{5} - 1)}{16 {(x^{6} - x)}^{\frac{5}{4}}}$